1217.

Stepen sa racionalnim izložiocem

TEKST ZADATKA

Uprostiti sledeći izraz uz uslov ∣a∣>1: |a| > 1 :

(a+1)2−(a2−1)+2a2−1a2−1−(a−1)2+2a2−1\frac{(a + 1)^2 - (a^2 - 1) + 2\sqrt{a^2 - 1}}{a^2 - 1 - (a - 1)^2 + 2\sqrt{a^2 - 1}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo uprostiti deo brojioca bez korena. Zapisujemo izraz a2−1 a^2 - 1 kao razliku kvadrata i izvlačimo zajednički činilac:

(a+1)2−(a2−1)=(a+1)2−(a−1)(a+1)=(a+1)(a+1−(a−1))=2(a+1)(a + 1)^2 - (a^2 - 1) = (a + 1)^2 - (a - 1)(a + 1) = (a + 1)(a + 1 - (a - 1)) = 2(a + 1)

Na sličan način uprošćavamo deo imenioca bez korena:

a2−1−(a−1)2=(a−1)(a+1)−(a−1)2=(a−1)(a+1−(a−1))=2(a−1)a^2 - 1 - (a - 1)^2 = (a - 1)(a + 1) - (a - 1)^2 = (a - 1)(a + 1 - (a - 1)) = 2(a - 1)

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početni razlomak:

2(a+1)+2a2−12(a−1)+2a2−1\frac{2(a + 1) + 2\sqrt{a^2 - 1}}{2(a - 1) + 2\sqrt{a^2 - 1}}

Delimo svaki član u brojiocu i imeniocu sa 2: 2 :

a+1+a2−1a−1+a2−1\frac{a + 1 + \sqrt{a^2 - 1}}{a - 1 + \sqrt{a^2 - 1}}

Da bismo se oslobodili korena u imeniocu, racionališemo razlomak množenjem brojioca i imenioca sa konjugovanim izrazom imenioca, odnosno sa a−1−a2−1: a - 1 - \sqrt{a^2 - 1} :

a+1+a2−1a−1+a2−1⋅a−1−a2−1a−1−a2−1\frac{a + 1 + \sqrt{a^2 - 1}}{a - 1 + \sqrt{a^2 - 1}} \cdot \frac{a - 1 - \sqrt{a^2 - 1}}{a - 1 - \sqrt{a^2 - 1}}

Računamo novi imenilac koristeći formulu za razliku kvadrata:

(a−1)2−(a2−1)2=a2−2a+1−(a2−1)=2−2a=−2(a−1)(a - 1)^2 - (\sqrt{a^2 - 1})^2 = a^2 - 2a + 1 - (a^2 - 1) = 2 - 2a = -2(a - 1)

Zatim množimo izraze u brojiocu:

(a+1)(a−1)−(a+1)a2−1+(a−1)a2−1−(a2−1)2(a + 1)(a - 1) - (a + 1)\sqrt{a^2 - 1} + (a - 1)\sqrt{a^2 - 1} - (\sqrt{a^2 - 1})^2

Sređujemo dobijeni izraz u brojiocu množenjem i poništavanjem suprotnih članova:

a2−1−aa2−1−a2−1+aa2−1−a2−1−(a2−1)=−2a2−1a^2 - 1 - a\sqrt{a^2 - 1} - \sqrt{a^2 - 1} + a\sqrt{a^2 - 1} - \sqrt{a^2 - 1} - (a^2 - 1) = -2\sqrt{a^2 - 1}

Zamenjujemo sređeni brojilac i imenilac nazad u razlomak:

−2a2−1−2(a−1)\frac{-2\sqrt{a^2 - 1}}{-2(a - 1)}

Skraćujemo razlomak sa −2: -2 :

a2−1a−1\frac{\sqrt{a^2 - 1}}{a - 1}

Koristimo razliku kvadrata a2−1=(a−1)(a+1) a^2 - 1 = (a-1)(a+1) i rastavljamo koren na proizvod. Kako je a−1>0 a - 1 > 0 (iz uslova ∣a∣>1 |a| > 1 ), možemo pisati a−1=(a−1)2, a - 1 = (\sqrt{a-1})^2 , pa skraćujemo:

(a−1)(a+1)a−1=a−1⋅a+1(a−1)2=a+1a−1=a+1a−1\frac{\sqrt{(a-1)(a+1)}}{a - 1} = \frac{\sqrt{a-1} \cdot \sqrt{a+1}}{(\sqrt{a-1})^2} = \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} = \sqrt{\frac{a+1}{a-1}}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti