2108.

631

TEKST ZADATKA

Dokazati trigonometrijski identitet: cos⁡(−α)cos⁡α−sin⁡αsin⁡(−α)=1. \cos(-\alpha) \cos \alpha - \sin \alpha \sin(-\alpha) = 1 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo koristimo svojstva parnosti i neparnosti trigonometrijskih funkcija. Funkcija kosinus je parna, dok je funkcija sinus neparna.

cos⁡(−α)=cos⁡αsin⁡(−α)=−sin⁡α\cos(-\alpha) = \cos \alpha \\ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha

Zamenjujemo ove identitete u levu stranu polaznog izraza.

L=cos⁡α⋅cos⁡α−sin⁡α⋅(−sin⁡α)L = \cos \alpha \cdot \cos \alpha - \sin \alpha \cdot (-\sin \alpha)

Sređujemo dobijeni izraz množenjem članova.

L=cos⁡2α+sin⁡2αL = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet (Pitagorin identitet), koji glasi da je zbir kvadrata sinusa i kosinusa istog ugla jednak jedinici.

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Zaključujemo da je leva strana identiteta jednaka desnoj strani.

L=1=DL = 1 = D