276. Tangenta i normala

TEKST ZADATKA

Odrediti jednačinu tangentne grafika funkcije $y=\frac{8a^3}{4a^2+x^2}$ u tački $x=2a, \quad a\in \mathbb{R}, \quad a\not =0$

REŠENJE ZADATKA

Treba odrediti koordinate tačke $(x_0, y_0)$ kroz koju prolazi tangenta. Vrednost $x_0=2a$ data je u zadatku. Da bi se izračunalo $y_0$ potrebno je izračunati vrednost funkcije u tački $x_0=2a,$ odnosno izračunati $y(2a)$ uvrštavanjem vrednosti za x u jednačinu krive.

y(2a)=\frac{8a^3}{4a^2+(2a)^2}=\frac{8a^3}{4a^2+4a^2}=\frac{\cancel{8a^3}}{\cancel{8a^2}}=a

Dakle tačka kroz koju prolazi tražena tangenta ima koordinate $(x_0, \space y_0)$ gde su:

x_0=2a, \quad y_0=a

Izračunati prvi izvod funkcije $y$ po $x.$ $8a^3$ je konstanta.

y'=8a^3 \cdot ((4a^2+x^2)^{-1})'

y'=8a^3 \cdot (-1) \cdot (4a^2+x^2)' = -8a^3 \cdot 2x = -16a^3x

Vrednost izvoda u dobijenoj tački $(2a, a)$ je:

y'=\frac{-16a^3\cdot2a}{(4a^2+4a^2)}=-\frac{\cancel{32a^4}}{\cancel{64a^4}}=-\frac{1}{2}

Uvrstiti dobijene vrednosti u jednačinu tangente: $y-y_0=y'(x_0)*(x-x_0)$

y-a=-\frac{1}{2}(x-2a)=-\frac{1}{2}x+a+a

Jednačina tangente je:

y=2a-\frac{1}{2}x

12. Tangenta