2663.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Transformisati u proizvod sledeći trigonometrijski izraz: cos⁡π5−sin⁡2π5. \cos \frac{\pi}{5} - \sin \frac{2\pi}{5} .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo primenili formule za transformaciju zbira i razlike u proizvod, potrebno je da oba člana budu iste trigonometrijske funkcije. Koristimo osobinu komplementarnih uglova sin⁡α=cos⁡(π2−α) \sin \alpha = \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) ili cos⁡α=sin⁡(π2−α). \cos \alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) . Transformišimo sinus u kosinus:

sin⁡2π5=cos⁡(π2−2π5)\sin \frac{2\pi}{5} = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5} \right)

Svedimo razlomke u zagradi na zajednički imenilac:

π2−2π5=5π−4π10=π10\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5} = \frac{5\pi - 4\pi}{10} = \frac{\pi}{10}

Sada polazni izraz možemo zapisati kao razliku dva kosinusa:

cos⁡π5−cos⁡π10\cos \frac{\pi}{5} - \cos \frac{\pi}{10}

Primenjujemo formulu za razliku kosinusa: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2, \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} , gde je α=π5 \alpha = \frac{\pi}{5} i β=π10: \beta = \frac{\pi}{10} :

cos⁡π5−cos⁡π10=−2sin⁡π5+π102sin⁡π5−π102\cos \frac{\pi}{5} - \cos \frac{\pi}{10} = -2 \sin \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{10}}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{10}}{2}

Sređujemo argumente sinusa. Prvi argument:

2π+π102=3π102=3π20\frac{\frac{2\pi + \pi}{10}}{2} = \frac{\frac{3\pi}{10}}{2} = \frac{3\pi}{20}

Drugi argument:

2π−π102=π102=π20\frac{\frac{2\pi - \pi}{10}}{2} = \frac{\frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\pi}{20}

Uvrštavamo dobijene vrednosti nazad u izraz:

−2sin⁡3π20sin⁡π20-2 \sin \frac{3\pi}{20} \sin \frac{\pi}{20}

Konačan oblik transformisanog izraza u proizvod je:

−2sin⁡3π20sin⁡π20-2 \sin \frac{3\pi}{20} \sin \frac{\pi}{20}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti