2709.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Odrediti tg α⋅tg β, \text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta , ako je cos⁡(α+β)=13 \cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{3} i cos⁡(α−β)=15. \cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{5} .

REŠENJE ZADATKA

Zapišimo traženi izraz preko funkcija sinus i kosinus.

tg α⋅tg β=sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}

Primenimo formule za pretvaranje proizvoda u zbir i razliku trigonometrijskih funkcija.

tg α⋅tg β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β))\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = \frac{\frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))}{\frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))}

Skratimo razlomak sa 12. \frac{1}{2} .

tg α⋅tg β=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}

Zamenimo poznate vrednosti cos⁡(α+β)=13 \cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{3} i cos⁡(α−β)=15 \cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{5} u dobijeni izraz.

tg α⋅tg β=15−1313+15\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = \frac{\frac{1}{5} - \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}

Svedimo razlomke u brojiocu i imeniocu na zajednički imenilac.

tg α⋅tg β=3−5155+315\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = \frac{\frac{3 - 5}{15}}{\frac{5 + 3}{15}}

Računamo vrednosti u brojiocu i imeniocu.

tg α⋅tg β=−215815\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = \frac{\frac{-2}{15}}{\frac{8}{15}}

Sredimo dvojni razlomak i skratimo ga kako bismo dobili konačan rezultat.

tg α⋅tg β=−28=−14\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti