884.

∣sin⁡x∣>12|\sin x|>\frac12

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

∣sin⁡x∣>12|\sin x|>\frac12
REŠENJE ZADATKA

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: ∣a∣={a,ako je  a≥0−a,ako je  a<0|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad \text{ako je}\ \ a < 0 \end {cases}

∣sin⁡x∣={sin⁡x,ako je  sin⁡x≥0−sin⁡x,ako je  sin⁡x<0|\sin{x}|= \begin {cases} \sin{x}, \quad \text{ako je}\ \ \sin{x} \ge 0\\ -\sin{x}, \quad \text{ako je}\ \ \sin{x} < 0 \end {cases}

Prvi slučaj: kada je sin⁡x>0,\sin{x}>0, tada nejednačina prelazi u:

sin⁡x>12\sin{x}>\frac{1}{2}

Rešenje ovog slučaja je:

π6+2kπ<x<5π6+2kπ\frac{\pi}6+2k\pi<x<\frac{5\pi}6+2k\pi

Drugi slučaj: kada je sin⁡x<0,\sin{x}<0, tada nejednačina prelazi u:

−sin⁡x>12sin⁡x<−12-\sin{x}>\frac{1}{2} \\ \sin{x}<-\frac{1}{2}

Rešenje ovog slučaja je:

−5π6+2kπ<x<−π6+2kπ-\frac{5\pi}6+2k\pi <x< -\frac{\pi}6+2k\pi

Konačno rešenje jednako je uniji rešenja oba slučaja.

x∈(π6+2kπ, 5π6+2kπ) ∪ (−5π6+2kπ, −π6+2kπ)k∈Zx \in (\frac{\pi}6+2k\pi, \ \frac{5\pi}6+2k\pi) \ \cup\ (-\frac{5\pi}6+2k\pi, \ -\frac{\pi}6+2k\pi) \quad k\in\mathbb{Z}