885.

Trigonometrijska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

sin⁡x+sin⁡3x≥0\sin x+\sin3x\ge0
REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za zbir sinusa: sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2

2sin⁡x+3x2cos⁡x−3x2≥02sin⁡2xcos⁡(−x)≥02\sin\frac{x+3x}2\cos\frac{x-3x}2\ge0 \\ 2\sin2x\cos(-x)\ge0

Zbog parnosti kosinus funkcije važi: cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x

sin⁡2xcos⁡x≥0\sin2x\cos x\ge0

Odrediti za koje vrednosti xx važi sin⁡2x≥0,\sin2x\ge0, odnosno sin⁡2x<0.\sin2x<0.

0+2kπ≤2x≤π+2kπ0+kπ≤x≤π2+kπ0+2k\pi\le2x\le\pi+2k\pi \\ 0+k\pi\le x\le\frac{\pi}2+k\pi

Odrediti za koje vrednosti xx važi cos⁡x≥0,\cos x\ge0, odnosno cos⁡x<0.\cos x<0.

3π2+2kπ≤x≤5π2+2kπ\frac{3\pi}2+2k\pi\le x\le\frac{5\pi}2+2k\pi
x∈(0,π2)x\in(0,\frac{\pi}2)
x∈(π2,π)x\in(\frac{\pi}2,\pi)
x∈(π,3π2)x\in(\pi, \frac{3\pi}2)
x∈(3π2,2π)x\in(\frac{3\pi}2,2\pi)
sin⁡2x\sin2x
++
−-
++
−-
cos⁡x\cos x
++
−-
−-
++
sin⁡2xcos⁡x\sin2x\cos x
++
++
−-
−-

Rešenje pročitati iz tabele.

x∈[0+2kπ,π+2kπ]∨x=3π2+2kπ,k∈Zx\in[0+2k\pi,\pi+2k\pi] \quad\lor\quad x=\frac{3\pi}2+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti