2807.

885.v

TEKST ZADATKA

Rešiti trigonometrijsku jednačinu:

2cos⁡2x−1=02 \cos 2x - 1 = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo izolujemo trigonometrijsku funkciju cos⁡2x \cos 2x na levoj strani jednačine.

2cos⁡2x=1cos⁡2x=122 \cos 2x = 1 \\ \cos 2x = \frac{1}{2}

Jednačina je sada u obliku cos⁡t=a, \cos t = a , gde je t=2x t = 2x i a=12. a = \frac{1}{2} . Pošto je ∣12∣≤1, |\frac{1}{2}| \le 1 , jednačina ima rešenja. Koristimo opštu formulu za rešenje kosinusne jednačine t=±arccos⁡a+2kπ. t = \pm \arccos a + 2k\pi .

2x=±arccos⁡(12)+2kπ,k∈Z2x = \pm \arccos \left( \frac{1}{2} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Znamo da je vrednost arkuskosinusa za 12 \frac{1}{2} jednaka π3. \frac{\pi}{3} .

2x=±π3+2kπ,k∈Z2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Da bismo dobili nepoznatu x, x , podelimo celu jednačinu sa 2.

x=±π6+kπ,k∈Zx = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje možemo zapisati kao uniju dva skupa rešenja.

x1=π6+kπ,x2=−π6+kπ,k∈Zx_1 = \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad x_2 = -\frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}