2819.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti trigonometrijsku jednačinu:

cos⁡3x+cos⁡5x=0\cos 3x + \cos 5x = 0
REŠENJE ZADATKA

Koristimo transformaciju zbira kosinusa u proizvod prema formuli cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2. \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} .

cos⁡3x+cos⁡5x=2cos⁡3x+5x2cos⁡3x−5x2\cos 3x + \cos 5x = 2 \cos \frac{3x + 5x}{2} \cos \frac{3x - 5x}{2}

Sređujemo izraze u argumentima kosinusa.

2cos⁡4xcos⁡(−x)=02 \cos 4x \cos(-x) = 0

Kako je kosinus parna funkcija, važi cos⁡(−x)=cos⁡x, \cos(-x) = \cos x , pa jednačina postaje:

2cos⁡4xcos⁡x=02 \cos 4x \cos x = 0

Proizvod je jednak nuli ako i samo ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Deljenjem sa 2 dobijamo dva slučaja:

cos⁡4x=0∨cos⁡x=0\cos 4x = 0 \quad \lor \quad \cos x = 0

Rešavamo prvu jednačinu cos⁡4x=0. \cos 4x = 0 . Prema opštoj formuli 4x=±arccos⁡0+2πk, 4x = \pm \arccos 0 + 2\pi k , gde je k∈Z. k \in \mathbf{Z} .

4x=±π2+2πk4x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi k

Delimo jednačinu sa 4 kako bismo izrazili x. x .

x=±π8+πk2,k∈Zx = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbf{Z}

Rešavamo drugu jednačinu cos⁡x=0. \cos x = 0 . Prema opštoj formuli x=±arccos⁡0+2πm, x = \pm \arccos 0 + 2\pi m , gde je m∈Z. m \in \mathbf{Z} .

x=±π2+2πmx = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi m

Ovo rešenje se može kraće zapisati objedinjavanjem pozitivnog i negativnog slučaja.

x=π2+πm,m∈Zx = \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja obe jednačine.

x∈{±π8+πk2}∪{π2+πm},k,m∈Zx \in \left\{ \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \right\} \cup \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi m \right\}, \quad k, m \in \mathbf{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti