2820.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti trigonometrijsku jednačinu:

cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡2x=0\cos 2x - \sqrt{2} \sin x \cos 2x = 0
REŠENJE ZADATKA

Izvlačimo zajednički činilac cos⁡2x \cos 2x ispred zagrade:

cos⁡2x(1−2sin⁡x)=0\cos 2x (1 - \sqrt{2} \sin x) = 0

Proizvod je jednak nuli ako i samo ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Na ovaj način dobijamo dve jednačine:

cos⁡2x=0∨1−2sin⁡x=0\cos 2x = 0 \quad \lor \quad 1 - \sqrt{2} \sin x = 0

Rešavamo prvu jednačinu cos⁡2x=0: \cos 2x = 0 :

2x=π2+kπ,k∈Z2x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Delimo jednačinu sa 2 2 da bismo izrazili x: x :

x=π4+kπ2,k∈Zx = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbf{Z}

Sada rešavamo drugu jednačinu 1−2sin⁡x=0: 1 - \sqrt{2} \sin x = 0 :

sin⁡x=12=22\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Rešenja ove osnovne trigonometrijske jednačine na trigonometrijskom krugu su:

x=π4+2mπ∨x=3π4+2mπ,m∈Zx = \frac{\pi}{4} + 2m\pi \quad \lor \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2m\pi, \quad m \in \mathbf{Z}

Primetimo da su rešenja druge jednačine već obuhvaćena rešenjima prve jednačine. Za k=4m k = 4m dobijamo x=π4+2mπ, x = \frac{\pi}{4} + 2m\pi , a za k=4m+1 k = 4m + 1 dobijamo x=3π4+2mπ. x = \frac{3\pi}{4} + 2m\pi . Zbog toga je unija ova dva skupa rešenja jednaka prvom skupu, pa je konačno rešenje:

x=π4+kπ2,k∈Zx = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbf{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti