2846.

903

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu cos⁡x=cos⁡3x \cos x = \cos 3x na intervalu [0,2π]. [0, 2\pi] .

REŠENJE ZADATKA

Koristimo osobinu kosinusne funkcije: iz cos⁡α=cos⁡β \cos \alpha = \cos \beta sledi da je α=β+2kπ \alpha = \beta + 2k\pi ili α=−β+2kπ, \alpha = -\beta + 2k\pi , gde je k∈Z. k \in \mathbf{Z} .

3x=x+2kπ∨3x=−x+2kπ3x = x + 2k\pi \quad \lor \quad 3x = -x + 2k\pi

Rešavamo prvu jednačinu tako što prebacimo x x na levu stranu.

2x=2kπ2x = 2k\pi

Delimo jednačinu sa 2 da bismo izrazili x. x .

x=kπx = k\pi

Rešavamo drugu jednačinu tako što prebacimo −x -x na levu stranu.

4x=2kπ4x = 2k\pi

Delimo jednačinu sa 4 da bismo izrazili x. x .

x=kπ2x = \frac{k\pi}{2}

Primetimo da su rešenja prve jednačine (x=kπ x = k\pi ) već obuhvaćena rešenjima druge jednačine (x=kπ2 x = \frac{k\pi}{2} ) za parne vrednosti k. k . Zato je opšte rešenje jednačine:

x=kπ2,k∈Zx = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbf{Z}

Tražimo rešenja koja pripadaju datom intervalu [0,2π]. [0, 2\pi] . Postavljamo uslov:

0≤kπ2≤2π0 \le \frac{k\pi}{2} \le 2\pi

Množimo nejednakost sa 2π \frac{2}{\pi} kako bismo izolovali k. k .

0≤k≤40 \le k \le 4

Pošto je k k ceo broj, moguće vrednosti su:

k∈{0,1,2,3,4}k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}

Računamo vrednosti x x za svako dobijeno k k i dobijamo konačan skup rešenja.

x∈{0,π2,π,3π2,2π}x \in \left\{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\right\}