2860.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

sin⁡4x+cos⁡4x=72sin⁡xcos⁡x\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{7}{2} \sin x \cos x
REŠENJE ZADATKA

Transformišemo levu stranu jednačine dopunom do punog kvadrata:

sin⁡4x+cos⁡4x=(sin⁡2x)2+(cos⁡2x)2=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1, \sin^2 x + \cos^2 x = 1 , izraz postaje:

12−2sin⁡2xcos⁡2x=1−2sin⁡2xcos⁡2x1^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu jednačinu:

1−2sin⁡2xcos⁡2x=72sin⁡xcos⁡x1 - 2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{7}{2} \sin x \cos x

Uvodimo smenu t=sin⁡xcos⁡x. t = \sin x \cos x . Jednačina postaje:

1−2t2=72t1 - 2t^2 = \frac{7}{2} t

Množenjem sa 2 i grupisanjem svih članova na jednu stranu, formiramo kvadratnu jednačinu:

4t2+7t−2=04t^2 + 7t - 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t1,2=−7±72−4⋅4⋅(−2)2⋅4=−7±49+328=−7±98t_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{8} = \frac{-7 \pm 9}{8}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=28=14,t2=−168=−2t_1 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \quad t_2 = \frac{-16}{8} = -2

Znamo da je sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x. \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x . Kako je −1≤sin⁡2x≤1, -1 \le \sin 2x \le 1 , sledi da t∈[−12,12]. t \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] . Zbog toga rešenje t2=−2 t_2 = -2 odbacujemo, pa ostaje samo:

sin⁡xcos⁡x=14\sin x \cos x = \frac{1}{4}

Množenjem jednačine sa 2, primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x: 2\sin x \cos x = \sin 2x :

sin⁡2x=12\sin 2x = \frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Rešenja su:

2x=π6+2kπ∨2x=5π6+2kπ,k∈Z2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Deljenjem sa 2 dobijamo konačna rešenja za x: x :

x=π12+kπ∨x=5π12+kπ,k∈Zx = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \lor \quad x = \frac{5\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti