2861.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2cos⁡2x+3cos⁡x−2=02 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 = 0
REŠENJE ZADATKA

Jednačina je kvadratna po cos⁡x. \cos x . Uvodimo smenu t=cos⁡x. t = \cos x . Kako vrednost kosinusa mora biti u intervalu od -1 do 1, važi uslov t∈[−1,1]. t \in [-1, 1] .

t=cos⁡x,−1≤t≤1t = \cos x, \quad -1 \le t \le 1

Zamenom u početnu jednačinu dobijamo algebarsku kvadratnu jednačinu po t. t .

2t2+3t−2=02t^2 + 3t - 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu primenom formule za korene.

t1,2=−3±32−4⋅2⋅(−2)2⋅2=−3±9+164=−3±54t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}

Računamo vrednosti za t1 t_1 i t2. t_2 .

t1=−3+54=24=12,t2=−3−54=−84=−2t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2

Proveravamo uslov t∈[−1,1]. t \in [-1, 1] . Rešenje t2=−2 t_2 = -2 odbacujemo jer ne pripada intervalu, pa ostaje samo t1=12. t_1 = \frac{1}{2} . Vraćamo se na početnu promenljivu x. x .

cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Kosinus je pozitivan u prvom i četvrtom kvadrantu, a vrednost 12 \frac{1}{2} dostiže za ugao π3. \frac{\pi}{3} .

x=±π3+2kπ,k∈Zx = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti