2862.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 917-927):

2sin⁡2x+sin⁡x−1=02 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0
REŠENJE ZADATKA

Jednačinu svodimo na algebarsku uvođenjem smene t=sin⁡x. t = \sin x . Kako je funkcija sinus ograničena, važi uslov t∈[−1,1]. t \in [-1, 1] .

2t2+t−1=02t^2 + t - 1 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po nepoznatoj t. t .

t1,2=−1±12−4⋅2⋅(−1)2⋅2=−1±1+84=−1±34t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}

Dobijamo dva rešenja za t. t . Proveravamo da li pripadaju intervalu [−1,1]. [-1, 1] .

t1=12,t2=−1t_1 = \frac{1}{2}, \quad t_2 = -1

Vraćamo smenu za prvo rešenje t1=12. t_1 = \frac{1}{2} .

sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2}

Rešavamo prvu osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Sinus je pozitivan u prvom i drugom kvadrantu.

x=π6+2kπ∨x=5π6+2kπ,k∈Zx = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za drugo rešenje t2=−1. t_2 = -1 .

sin⁡x=−1\sin x = -1

Rešavamo drugu osnovnu trigonometrijsku jednačinu.

x=−π2+2kπ,k∈Zx = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje predstavlja uniju svih dobijenih rešenja.

x∈{π6+2kπ,5π6+2kπ,−π2+2kπ∣k∈Z}x \in \left\{ \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti