2863.

Trigonometrijske jednačine

Jednačina je definisana za one vrednosti $x$ za koje je imenilac različit od nule:

Zamenjujemo $\operatorname{tg} x$ sa $\frac{\sin x}{\cos x} :$

Množimo celu jednačinu sa $\cos x$ (što je dozvoljeno jer je $\cos x \neq 0$):

Prebacujemo sve članove na levu stranu i grupišemo ih:

Primenjujemo razliku kvadrata na izraz $\cos^2 x - 1 :$

Izvlačimo zajednički faktor $\cos x + 1$ ispred zagrade:

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dva slučaja:

Rešavamo prvi slučaj:

Rešavamo drugi slučaj tako što prebacimo konstantu na desnu stranu:

Delimo jednačinu sa $\sqrt{2}$ kako bismo je sveli na osnovni oblik:

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ (gde je $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$):

Ova trigonometrijska jednačina ima dva skupa rešenja:

Sređivanjem dobijamo rešenja za drugi slučaj:

Proveravamo dobijena rešenja u odnosu na uslov definisanosti $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi .$ Rešenje $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ se odbacuje jer za njega važi $\cos x = 0 .$

Preostala rešenja $x = \pi + 2k\pi$ (neparni umnošci broja $\pi$) i $x = 2k\pi$ (parni umnošci broja $\pi$) možemo objediniti u jedno konačno rešenje: