2854. Trigonometrijske jednačine

Primenjujemo formulu za kosinus trostrukog ugla $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x .$

4 \cos^3 x - 3 \cos x + 2 \cos x = 0

Sređujemo dobijeni izraz.

4 \cos^3 x - \cos x = 0

Izvlačimo zajednički činilac $\cos x$ ispred zagrade.

\cos x (4 \cos^2 x - 1) = 0

Proizvod je jednak nuli kada je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine.

\cos x = 0 \quad \lor \quad 4 \cos^2 x - 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu.

x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Rešavamo drugu jednačinu.

4 \cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = \frac{1}{4}

Korenujemo jednačinu.

\cos x = \frac{1}{2} \quad \lor \quad \cos x = -\frac{1}{2}

Rešavamo jednačinu $\cos x = \frac{1}{2} .$

x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Rešavamo jednačinu $\cos x = -\frac{1}{2} .$

x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Rešenja druge jednačine možemo zapisati i u objedinjenom obliku.

x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje je unija svih dobijenih rešenja.

x \in \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, \pm \frac{\pi}{3} + k\pi \mid k \in \mathbf{Z} \right\}

2854.Trigonometrijske jednačine