2865.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 917-927):

tg⁡x+2ctg⁡x=3\operatorname{tg} x + 2 \operatorname{ctg} x = 3
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti jednačine. Funkcija tg⁡x \operatorname{tg} x je definisana za x≠π2+kπ, x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi , a funkcija ctg⁡x \operatorname{ctg} x za x≠kπ, x \neq k\pi , gde je k∈Z. k \in \mathbb{Z} . Dakle, uslov definisanosti je:

x≠kπ2,k∈Zx \neq \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet koji povezuje tangens i kotangens:

ctg⁡x=1tg⁡x\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}

Zamenjujemo ovaj identitet u polaznu jednačinu:

tg⁡x+2tg⁡x=3\operatorname{tg} x + \frac{2}{\operatorname{tg} x} = 3

Uvodimo smenu t=tg⁡x. t = \operatorname{tg} x . Jednačina postaje algebarska:

t+2t=3t + \frac{2}{t} = 3

Množimo celu jednačinu sa t t (uz uslov t≠0 t \neq 0 ) i prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

t2−3t+2=0t^2 - 3t + 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

t1,2=3±(−3)2−4⋅1⋅22=3±9−82=3±12t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=1,t2=2t_1 = 1, \quad t_2 = 2

Vraćamo smenu za prvo rešenje t1=1: t_1 = 1 :

tg⁡x=1  ⟹  x=π4+kπ,k∈Z\operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za drugo rešenje t2=2: t_2 = 2 :

tg⁡x=2  ⟹  x=arctg⁡2+kπ,k∈Z\operatorname{tg} x = 2 \implies x = \operatorname{arctg} 2 + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Oba rešenja zadovoljavaju početni uslov definisanosti. Konačno rešenje je unija ova dva skupa:

x∈{π4+kπ∣k∈Z}∪{arctg⁡2+kπ∣k∈Z}x \in \left\{ \frac{\pi}{4} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \operatorname{arctg} 2 + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti