2866.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 917-927):

tg⁡x+2ctg⁡x=3\operatorname{tg} x + 2 \operatorname{ctg} x = 3
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Funkcije tangens i kotangens su definisane kada je imenilac različit od nule, odnosno kada je sin⁡x≠0 \sin x \neq 0 i cos⁡x≠0. \cos x \neq 0 .

x≠kπ2,k∈Zx \neq \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet koji povezuje tangens i kotangens:

ctg⁡x=1tg⁡x\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}

Zamenjujemo ovaj identitet u početnu jednačinu:

tg⁡x+2tg⁡x=3\operatorname{tg} x + \frac{2}{\operatorname{tg} x} = 3

Uvodimo smenu t=tg⁡x. t = \operatorname{tg} x . Jednačina se svodi na algebarsku:

t+2t=3t + \frac{2}{t} = 3

Množimo celu jednačinu sa t t (uz uslov t≠0 t \neq 0 ) i prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

t2−3t+2=0t^2 - 3t + 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

t1,2=−(−3)±(−3)2−4⋅1⋅22⋅1=3±9−82=3±12t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=2,t2=1t_1 = 2, \quad t_2 = 1

Vraćamo smenu t=tg⁡x t = \operatorname{tg} x za rešenje t2=1 t_2 = 1 i rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

tg⁡x=1  ⟹  x=π4+kπ,k∈Z\operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za rešenje t1=2 t_1 = 2 i rešavamo drugu osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

tg⁡x=2  ⟹  x=arctg⁡2+kπ,k∈Z\operatorname{tg} x = 2 \implies x = \operatorname{arctg} 2 + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Oba dobijena skupa rešenja pripadaju domenu jednačine. Konačno rešenje je unija ova dva skupa:

x∈{π4+kπ}∪{arctg⁡2+kπ},k∈Zx \in \left\{ \frac{\pi}{4} + k\pi \right\} \cup \left\{ \operatorname{arctg} 2 + k\pi \right\}, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti