2891. Trigonometrijske jednačine

Faktorišemo levu stranu jednačine kao razliku kvadrata.

(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = \cos x

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 .$

\sin^2 x - \cos^2 x = \cos x

Izražavamo $\sin^2 x$ preko $\cos^2 x$ koristeći identitet $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x .$

(1 - \cos^2 x) - \cos^2 x = \cos x

Sređujemo jednačinu tako da dobijemo kvadratnu jednačinu po $\cos x .$

2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0

Uvodimo smenu $t = \cos x$ i rešavamo kvadratnu jednačinu.

2t^2 + t - 1 = 0

Nalazimo rešenja kvadratne jednačine.

t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}

Dobijamo dve vrednosti za $t .$

t_1 = \frac{1}{2}, \quad t_2 = -1

Vraćamo smenu za prvu vrednost $\cos x = \frac{1}{2}$ i nalazimo rešenja.

x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za drugu vrednost $\cos x = -1$ i nalazimo rešenja.

x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo konačan skup rešenja.

x \in \left\{ \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \pi + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

2891.Trigonometrijske jednačine