2892.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 947-952):

1−2sin⁡28x=sin⁡4x1 - 2 \sin^2 8x = \sin 4x
REŠENJE ZADATKA

Koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla cos⁡2α=1−2sin⁡2α \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha da bismo transformisali levu stranu jednačine:

cos⁡16x=sin⁡4x\cos 16x = \sin 4x

Izrazimo sinus preko kosinusa koristeći vezu sin⁡α=cos⁡(π2−α): \sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) :

cos⁡16x=cos⁡(π2−4x)\cos 16x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)

Jednačina oblika cos⁡α=cos⁡β \cos \alpha = \cos \beta ima rešenja α=β+2kπ \alpha = \beta + 2k\pi i α=−β+2mπ, \alpha = -\beta + 2m\pi , gde su k,m∈Z. k, m \in \mathbb{Z} . Primenjujemo ovo na našu jednačinu:

16x=π2−4x+2kπ∨16x=−(π2−4x)+2mπ16x = \frac{\pi}{2} - 4x + 2k\pi \quad \lor \quad 16x = -\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) + 2m\pi

Rešavamo prvu jednačinu:

16x+4x=π2+2kπ16x + 4x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi

Sređujemo i izražavamo x: x :

20x=π2+2kπ  ⟹  x=π40+kπ10,k∈Z20x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{40} + \frac{k\pi}{10}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu:

16x=−π2+4x+2mπ16x = -\frac{\pi}{2} + 4x + 2m\pi

Sređujemo i izražavamo x: x :

12x=−π2+2mπ  ⟹  x=−π24+mπ6,m∈Z12x = -\frac{\pi}{2} + 2m\pi \implies x = -\frac{\pi}{24} + \frac{m\pi}{6}, \quad m \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja ove dve jednačine:

x∈{π40+kπ10∣k∈Z}∪{−π24+mπ6∣m∈Z}x \in \left\{ \frac{\pi}{40} + \frac{k\pi}{10} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\frac{\pi}{24} + \frac{m\pi}{6} \mid m \in \mathbb{Z} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti