2896. Trigonometrijske jednačine

Množimo celu jednačinu sa 2 kako bismo se oslobodili razlomka.

2\sin^2 x + 2\cos^2 2x + 2\sin^2 3x = 3

Koristimo formule za polovinu ugla $2\sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha$ za prvi i treći sabirak.

\begin{aligned} 2\sin^2 x &= 1 - \cos 2x \\ 2\sin^2 3x &= 1 - \cos 6x \end{aligned}

Zamenjujemo ove izraze u jednačinu.

(1 - \cos 2x) + 2\cos^2 2x + (1 - \cos 6x) = 3

Sređujemo jednačinu i grupišemo članove.

2\cos^2 2x - \cos 2x - \cos 6x - 1 = 0

Koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla $2\cos^2 \alpha - 1 = \cos 2\alpha$ na članove $2\cos^2 2x - 1 .$

\cos 4x - \cos 2x - \cos 6x = 0

Grupišemo drugi i treći član i primenjujemo formulu za zbir kosinusa $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} .$

\begin{aligned} \cos 4x - (\cos 6x + \cos 2x) &= 0 \\ \cos 4x - 2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} &= 0 \\ \cos 4x - 2\cos 4x \cos 2x &= 0 \end{aligned}

Izvlačimo zajednički faktor $\cos 4x$ ispred zagrade.

\cos 4x (1 - 2\cos 2x) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine.

\cos 4x = 0 \quad \lor \quad 1 - 2\cos 2x = 0

Rešavamo prvu jednačinu.

\begin{aligned} \cos 4x &= 0 \\ 4x &= \frac{\pi}{2} + k\pi \\ x &= \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Rešavamo drugu jednačinu.

\begin{aligned} 1 - 2\cos 2x &= 0 \\ \cos 2x &= \frac{1}{2} \\ 2x &= \pm\frac{\pi}{3} + 2m\pi \\ x &= \pm\frac{\pi}{6} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Konačno rešenje je unija rešenja obe jednačine.

x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4} \quad \lor \quad x = \pm\frac{\pi}{6} + m\pi, \quad k, m \in \mathbb{Z}

Započni učenje

Online grupni časovi

2896.
Trigonometrijske jednačine

2896.Trigonometrijske jednačine

2896.
Trigonometrijske jednačine