2895.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 947-952):

4sin⁡2xcos⁡x−4sin⁡3x+3sin⁡x−cos⁡x=04 \sin^2 x \cos x - 4 \sin^3 x + 3 \sin x - \cos x = 0
REŠENJE ZADATKA

Grupišemo članove kako bismo prepoznali formule za višestruke uglove:

(4sin⁡2xcos⁡x−cos⁡x)+(3sin⁡x−4sin⁡3x)=0(4 \sin^2 x \cos x - \cos x) + (3 \sin x - 4 \sin^3 x) = 0

Iz prve zagrade izdvajamo cos⁡x: \cos x :

cos⁡x(4sin⁡2x−1)+(3sin⁡x−4sin⁡3x)=0\cos x (4 \sin^2 x - 1) + (3 \sin x - 4 \sin^3 x) = 0

Prepoznajemo formulu za sinus trostrukog ugla sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x: \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x :

cos⁡x(4sin⁡2x−1)+sin⁡3x=0\cos x (4 \sin^2 x - 1) + \sin 3x = 0

Izraz 4sin⁡2x−1 4 \sin^2 x - 1 izražavamo preko kosinusa koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x=1−cos⁡2x: \sin^2 x = 1 - \cos^2 x :

4sin⁡2x−1=4(1−cos⁡2x)−1=4−4cos⁡2x−1=3−4cos⁡2x4 \sin^2 x - 1 = 4(1 - \cos^2 x) - 1 = 4 - 4 \cos^2 x - 1 = 3 - 4 \cos^2 x

Zamenjujemo dobijeni izraz nazad u jednačinu:

cos⁡x(3−4cos⁡2x)+sin⁡3x=0\cos x (3 - 4 \cos^2 x) + \sin 3x = 0

Množenjem dobijamo:

3cos⁡x−4cos⁡3x+sin⁡3x=03 \cos x - 4 \cos^3 x + \sin 3x = 0

Prepoznajemo formulu za kosinus trostrukog ugla cos⁡3x=4cos⁡3x−3cos⁡x, \cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x , pa je 3cos⁡x−4cos⁡3x=−cos⁡3x: 3 \cos x - 4 \cos^3 x = -\cos 3x :

−cos⁡3x+sin⁡3x=0-\cos 3x + \sin 3x = 0

Prebacujemo kosinus na desnu stranu:

sin⁡3x=cos⁡3x\sin 3x = \cos 3x

Delimo jednačinu sa cos⁡3x \cos 3x (uz uslov cos⁡3x≠0, \cos 3x \neq 0 , što je ispunjeno jer bi u suprotnom i sin⁡3x \sin 3x morao biti 0, što je nemoguće za isti ugao):

tan⁡3x=1\tan 3x = 1

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu po 3x: 3x :

3x=π4+kπ,k∈Z3x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Deljenjem sa 3 dobijamo konačno rešenje za x: x :

x=π12+kπ3,k∈Zx = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti