2918.

972.đ

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: 2sin⁡x−3≤0. 2 \sin x - \sqrt{3} \le 0.

REŠENJE ZADATKA

Prebacujemo konstantu na desnu stranu i delimo nejednačinu sa 2 kako bismo izolovali trigonometrijsku funkciju.

sin⁡x≤32\sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2}

Rešavamo odgovarajuću jednačinu sin⁡x=32 \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} na osnovnom periodu [0,2π] [0, 2\pi] kako bismo našli granične vrednosti.

x1=π3,x2=2π3x_1 = \frac{\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{2\pi}{3}

Na trigonometrijskoj kružnici tražimo uglove za koje je vrednost sinusa (y-koordinata) manja ili jednaka 32. \frac{\sqrt{3}}{2} . Krećući se u pozitivnom smeru, to je luk koji počinje od 2π3 \frac{2\pi}{3} i završava se u π3+2π=7π3. \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} .

x∈[2π3,7π3]x \in \left[ \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3} \right]

Zbog periodičnosti funkcije sinus (osnovni period je 2π 2\pi ), opšte rešenje dobijamo dodavanjem 2kπ 2k\pi na granice intervala, gde je k k ceo broj.

x∈[2π3+2kπ,7π3+2kπ],k∈Zx \in \left[ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \frac{7\pi}{3} + 2k\pi \right], \quad k \in \mathbb{Z}