2919.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: sin⁡xcos⁡π6+cos⁡xsin⁡π6<12. \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} < \frac{1}{2}.

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da leva strana nejednačine predstavlja razvijeni oblik adicionog pravila za sinus zbira uglova: sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β. \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta .

sin⁡xcos⁡π6+cos⁡xsin⁡π6=sin⁡(x+π6)\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)

Zamenom u početnu nejednačinu dobijamo jednostavniji oblik:

sin⁡(x+π6)<12\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) < \frac{1}{2}

Uvodimo smenu t=x+π6. t = x + \frac{\pi}{6} . Nejednačina postaje:

sin⁡t<12\sin t < \frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku nejednačinu. Na trigonometrijskoj kružnici, sinus je manji od 12 \frac{1}{2} za uglove koji se nalaze između 5π6 \frac{5\pi}{6} i 13π6 \frac{13\pi}{6} (gde je 13π6=2π+π6 \frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6} ). Uzimajući u obzir periodičnost funkcije sinus, rešenje za t t je:

5π6+2kπ<t<13π6+2kπ,k∈Z\frac{5\pi}{6} + 2k\pi < t < \frac{13\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu t=x+π6 t = x + \frac{\pi}{6} u dobijeno rešenje:

5π6+2kπ<x+π6<13π6+2kπ\frac{5\pi}{6} + 2k\pi < x + \frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6} + 2k\pi

Oduzimamo π6 \frac{\pi}{6} od svih delova nejednakosti kako bismo izrazili x: x :

5π6−π6+2kπ<x<13π6−π6+2kπ\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi

Sređivanjem izraza dobijamo:

4π6+2kπ<x<12π6+2kπ\frac{4\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{12\pi}{6} + 2k\pi

Skraćivanjem razlomaka dolazimo do konačnog rešenja:

2π3+2kπ<x<2π+2kπ,k∈Z\frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešenje možemo zapisati i u obliku intervala:

x∈(2π3+2kπ,2π+2kπ),k∈Zx \in \left(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti