2948.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine:

2sin⁡2x−sin⁡x−1>02 \sin^2 x - \sin x - 1 > 0
REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smenu t=sin⁡x. t = \sin x . Zbog osobina sinusne funkcije, važi ograničenje t∈[−1,1]. t \in [-1, 1] . Nejednačina postaje:

2t2−t−1>02t^2 - t - 1 > 0

Rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu da bismo našli nule izraza:

t1,2=1±(−1)2−4⋅2⋅(−1)4=1±94=1±34t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}

Nule kvadratne jednačine su:

t1=1,t2=−12t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{1}{2}

Zapisujemo kvadratni trinom u faktorisanom obliku kako bismo analizirali znak:

2(t−1)(t+12)>02(t-1)\left(t+\frac{1}{2}\right) > 0
t∈(−∞,−1/2)t \in (-\infty, -1/2)
t∈(−1/2,1)t \in (-1/2, 1)
t∈(1,+∞)t \in (1, +\infty)
t+1/2t+1/2
++
++
++
t−1t-1
++
++
++
2(t−1)(t+1/2)2(t-1)(t+1/2)
++
++
++

Na osnovu tabele znakova (ili činjenice da je parabola okrenuta nagore), rešenje nejednačine po t t je:

t∈(−∞,−12)∪(1,+∞)t \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup (1, +\infty)

Uzimajući u obzir početno ograničenje t∈[−1,1], t \in [-1, 1] , tražimo presek sa dobijenim rešenjem:

t∈[−1,−12)t \in \left[-1, -\frac{1}{2}\right)

Vraćamo smenu. Uslov sin⁡x≥−1 \sin x \ge -1 je uvek ispunjen, pa ostaje samo da rešimo:

sin⁡x<−12\sin x < -\frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku nejednačinu. Sinus je manji od −12 -\frac{1}{2} u trećem i četvrtom kvadrantu, između uglova 7π6 \frac{7\pi}{6} i 11π6: \frac{11\pi}{6} :

x∈(7π6+2kπ,11π6+2kπ),k∈Zx \in \left( \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti