2950.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: cos⁡4x+4sin⁡2x≥2sin⁡2xcos⁡x; \cos^4 x + 4 \sin^2 x \ge 2 \sin 2x \cos x;

REŠENJE ZADATKA

Koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x \sin 2x = 2 \sin x \cos x da bismo transformisali desnu stranu nejednačine.

2sin⁡2xcos⁡x=2(2sin⁡xcos⁡x)cos⁡x=4sin⁡xcos⁡2x2 \sin 2x \cos x = 2 (2 \sin x \cos x) \cos x = 4 \sin x \cos^2 x

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu nejednačinu.

cos⁡4x+4sin⁡2x≥4sin⁡xcos⁡2x\cos^4 x + 4 \sin^2 x \ge 4 \sin x \cos^2 x

Prebacujemo sve članove na levu stranu nejednačine.

cos⁡4x−4sin⁡xcos⁡2x+4sin⁡2x≥0\cos^4 x - 4 \sin x \cos^2 x + 4 \sin^2 x \ge 0

Primećujemo da leva strana predstavlja kvadrat binoma. Možemo je zapisati u obliku (a−b)2 (a - b)^2 gde je a=cos⁡2x a = \cos^2 x i b=2sin⁡x. b = 2 \sin x .

(cos⁡2x−2sin⁡x)2≥0(\cos^2 x - 2 \sin x)^2 \ge 0

Kvadrat bilo kog realnog broja je uvek veći ili jednak nuli, pa ova nejednakost važi za svako realno x. x .

x∈Rx \in \mathbb{R}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti