2991.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: sin⁡x+cos⁡2x>1. \sin x + \cos 2x > 1.

REŠENJE ZADATKA

Koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla kako bismo sveli nejednačinu na istu trigonometrijsku funkciju:

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

Zamenjujemo ovu formulu u početnu nejednačinu:

sin⁡x+1−2sin⁡2x>1\sin x + 1 - 2\sin^2 x > 1

Sređujemo nejednačinu oduzimanjem broja 1 sa obe strane:

sin⁡x−2sin⁡2x>0\sin x - 2\sin^2 x > 0

Izvlačimo zajednički činilac sin⁡x \sin x ispred zagrade:

sin⁡x(1−2sin⁡x)>0\sin x (1 - 2\sin x) > 0

Ovo je kvadratna nejednačina po sin⁡x. \sin x . Njene nule su sin⁡x=0 \sin x = 0 i sin⁡x=12. \sin x = \frac{1}{2} . Pošto je koeficijent uz kvadratni član negativan, nejednačina je zadovoljena kada se sin⁡x \sin x nalazi između nula:

0<sin⁡x<120 < \sin x < \frac{1}{2}

Ovu dvostruku nejednačinu možemo posmatrati kao sistem dve nejednačine:

{sin⁡x>0sin⁡x<12\begin{cases} \sin x > 0 \\ \sin x < \frac{1}{2} \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu sin⁡x>0. \sin x > 0 . Sinus je pozitivan u prvom i drugom kvadrantu, pa za osnovni period [0,2π) [0, 2\pi) važi:

x∈(0,π)x \in (0, \pi)

Rešavamo drugu nejednačinu sin⁡x<12. \sin x < \frac{1}{2} . Na trigonometrijskom krugu, sinus je jednak 12 \frac{1}{2} za uglove π6 \frac{\pi}{6} i 5π6. \frac{5\pi}{6} . Sinus je manji od 12 \frac{1}{2} za:

x∈[0,π6)∪(5π6,2π)x \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}, 2\pi\right)

Nalazimo presek rešenja ove dve nejednačine na intervalu [0,2π): [0, 2\pi) :

x∈(0,π6)∪(5π6,π)x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)

Dodajemo period 2kπ 2k\pi kako bismo obuhvatili sva rešenja, gde je k∈Z: k \in \mathbb{Z} :

x∈(2kπ,π6+2kπ)∪(5π6+2kπ,π+2kπ)x \in \left(2k\pi, \frac{\pi}{6} + 2k\pi\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \pi + 2k\pi\right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti