837.

Trigonometrijski i eksponencijalni oblik

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve zz za koje važi:

z2=−3+4iz^2=-3+4i
REŠENJE ZADATKA
z=−3+4i2z=\sqrt[2]{-3+4i}

Zapisati broj −3+4i-3+4i u trigonometrijskom obliku : z=∣z∣⋅(cos⁡(arg(z))+isin⁡(arg(z))).z=|z|\cdot(\cos{(\text{arg}(z))}+i\sin{(\text{arg}(z))}).

−3+4i=5(cos⁡(π−α)+isin⁡(π−α)),α=arctg⁡43-3+4i=5(\cos{(\pi-\alpha)}+i\sin{(\pi-\alpha)}), \quad \alpha=\arctg{\frac{4}{3}}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti formulu za korenovanje kompleksnog broja: ∣z∣n⋅(cos⁡arg(z)+2kπn+isin⁡arg(z)+2kπn),k∈{0,1,...,n−1}\sqrt[n]{|z|} \cdot (\cos{\frac{\text{arg}(z)+2k\pi}{n}}+i\sin{\frac{\text{arg}(z)+2k\pi}{n}}), \quad k\in\{0, 1, ...,n-1\}

5⋅(cos⁡(π−α)+2kπ2+isin⁡(π−α)+2kπ2),k∈{0,1}\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{(\pi-\alpha)+2k\pi}{2}} + i\sin{\frac{(\pi-\alpha)+2k\pi}{2}}), \quad k\in\{0, 1\}

Za k=0:k=0:

z0=5⋅(cos⁡(π−α)+2⋅0⋅π2+isin⁡(π−α)+2⋅0⋅π2)z0=5⋅(cos⁡π−α2+isin⁡π−α2)z_0=\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{(\pi-\alpha)+2\cdot0\cdot\pi}{2}} + i\sin{\frac{(\pi-\alpha)+2\cdot0\cdot\pi}{2}}) \\ z_0=\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{\pi-\alpha}{2}} + i\sin{\frac{\pi-\alpha}{2}})

Za k=1:k=1:

z1=5⋅(cos⁡(π−α)+2⋅1⋅π2+isin⁡(π−α)+2⋅1⋅π2)z1=5⋅(cos⁡3π−α2+isin⁡3π−α2)z_1=\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{(\pi-\alpha)+2\cdot 1 \cdot\pi}{2}} + i\sin{\frac{(\pi-\alpha)+2\cdot 1 \cdot\pi}{2}}) \\ z_1=\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{3\pi-\alpha}{2}} + i\sin{\frac{3\pi-\alpha}{2}})

Da bi se rešenja prevela u algebarski oblik x+iyx+iy potrebno je odrediti cos⁡π−α2,\cos{\frac{\pi-\alpha}{2}}, sin⁡π−α2,\sin{\frac{\pi-\alpha}{2}}, cos⁡3π−α2\cos{\frac{3\pi-\alpha}{2}} i sin⁡3π−α2\sin{\frac{3\pi-\alpha}{2}} gde je α=arctg⁡43\alpha=\arctg{\frac{4}{3}}

Iz tg⁡α=naspramna katetanalegla kateta=43\tg{\alpha}=\frac{naspramna \ kateta}{nalegla \ kateta} = \frac{4}{3} mogu se odrediti naspramna i nalegla kateta pravouglog trougla.

naspramna kateta=4nalegla kateta=3naspramna \ kateta = 4 \\ nalegla \ kateta = 3

Primenom Pitagorine teoreme izračunati hipotenuzu pravouglog trougla.

hipotenuza=32+42=5hipotenuza=\sqrt{3^2+4^2}=5

Odrediti cos⁡α\cos{\alpha} i sin⁡α.\sin{\alpha}.

cos⁡α=nalegla katetahipotenuza=35sin⁡α=naspramna katetahipotenuza=45\cos{\alpha} = \frac{nalegla \ kateta}{hipotenuza} = \frac{3}{5} \\ \sin{\alpha} = \frac{naspramna \ kateta}{hipotenuza} = \frac{4}{5}

Svođenjem ugla π−α\pi-\alpha na prvi kvadrant dobija se:

cos⁡(π−α)=−cos⁡α=−35sin⁡(π−α)=sin⁡α=45\cos{(\pi-\alpha)} = -\cos{\alpha} = -\frac{3}{5} \\ \sin{(\pi-\alpha)} = \sin{\alpha} = \frac{4}{5}

Primeniti formule za polovinu ugla za sinus i kosinus cos⁡β2=1+cos⁡β2\cos{\frac{\beta}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\beta}}{2}} i sin⁡β2=1−cos⁡β2\sin{\frac{\beta}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{\beta}}{2}} ako je β=π−α\beta=\pi-\alpha

cos⁡π−α2=1−352=15sin⁡π−α2=1+352=25\cos{\frac{\pi-\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \sin{\frac{\pi-\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}

Odrediti z0z_0 u algebarskom obliku.

z0=5⋅(cos⁡π−α2+isin⁡π−α2)z0=5⋅(15+25i)z0=1+2iz_0=\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{\pi-\alpha}{2}} + i\sin{\frac{\pi-\alpha}{2}})\\ z_0=\sqrt{5}\cdot(\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}}i)\\ z_0=1+2i

Svođenjem ugla 3π−α2\frac{3\pi-\alpha}{2} na prvi kvadrant dobija se:

cos⁡3π−α2=cos⁡(π+π−α2)=−cos⁡π−α2=−15sin⁡3π−α2=sin⁡(π+π−α2)=−sin⁡π−α2=−25\cos{\frac{3\pi-\alpha}{2}}=\cos{(\pi+\frac{\pi-\alpha}{2})}=-\cos{\frac{\pi-\alpha}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \sin{\frac{3\pi-\alpha}{2}}=\sin{(\pi+\frac{\pi-\alpha}{2})}=-\sin{\frac{\pi-\alpha}{2}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}

Odrediti z1z_1 u algebarskom obliku.

z1=5⋅(cos⁡3π−α2+isin⁡3π−α2)z1=5⋅(−15−25i)z1=−1−2iz_1=\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{3\pi-\alpha}{2}} + i\sin{\frac{3\pi-\alpha}{2}}) \\ z_1=\sqrt{5}\cdot(-\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}}i)\\ z_1=-1-2i

Rešenja jednačine su:

1+2ii−1−2i1+2i \quad \text{i} \quad -1-2i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti