PrethodniSledeći
4666.

429

TEKST ZADATKA

Ako je ugao koji grade težišne duži nad kracima jednakokrakog trougla prav, dokazati da je visina koja odgovara osnovici jednaka 32 \frac{3}{2} osnovice.

REŠENJE ZADATKA

Neka je ABC ABC jednakokraki trougao sa kracima AC=BC AC=BC i osnovicom AB. AB . Neka su AD AD i BE BE težišne duži nad kracima, a G G njihova presečna tačka. Po uslovu zadatka prave koje ih sadrže su normalne.

AD⊥BE,∠AGB=90∘AD\perp BE,\qquad \angle AGB=90^\circ

Uvedimo pomoćnu tačku O, O , središte osnovice AB. AB . U jednakokrakom trouglu duž iz temena C C do središta osnovice istovremeno je težišna duž i visina. Sve težišne duži seku se u težištu G, G , pa su C,G,O C,G,O kolinearne i GO⊥AB. GO\perp AB .

AO=OB,C−G−O,CO⊥ABAO=OB,\qquad C-G-O,\qquad CO\perp AB

Pravougli trouglovi AOG AOG i BOG BOG imaju jednake katete AO=OB AO=OB i zajedničku katetu GO, GO , pa su podudarni. Otuda je GA=GB. GA=GB . Trougao AGB AGB je zato jednakokraki, a njegov ugao pri vrhu G G je prav.

AO=OB,GO=GO⟹GA=GBAO=OB,\qquad GO=GO\quad\Longrightarrow\quad GA=GB

Naspram jednakih stranica GA GA i GB GB nalaze se jednaki uglovi. Njihov zbir je 90∘, 90^\circ , jer je treći ugao prav, pa svaki iznosi 45∘. 45^\circ . U pravouglom trouglu AOG AOG zato su uglovi kod A A i G G jednaki, pa su jednake i njima naspramne stranice.

∠GAB=∠ABG=45∘,∠OAG=∠AGO=45∘,AO=GO\angle GAB=\angle ABG=45^\circ,\qquad \angle OAG=\angle AGO=45^\circ,\qquad AO=GO

Težište deli svaku težišnu duž u odnosu 2:1, 2:1 , računajući od temena. Zato na težišnoj duži CO CO važi CG:GO=2:1, CG:GO=2:1 , pa je cela visina tri puta duža od GO. GO . Sa druge strane, osnovica je dva puta duža od AO. AO .

CO=CG+GO=2GO+GO=3GO,AB=2AO=2GOCO=CG+GO=2GO+GO=3GO,\qquad AB=2AO=2GO

Poređenjem poslednje dve jednakosti dobijamo traženi odnos visine koja odgovara osnovici i osnovice.

CO=32AB\boxed{CO=\frac{3}{2}AB}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak