PrethodniSledeći
4677.

430

TEKST ZADATKA

Dat je jednakokraki trougao ABC ABC (AC=BC AC = BC ). Na kraku AC AC odabrane su dve tačke M M i N N tako da je ∠ABM=∠CBN \angle ABM = \angle CBN i MN=MB, MN = MB , pri čemu je A−M−N. A - M - N . Koliki je ugao ABN? ABN ?

REŠENJE ZADATKA

Pošto je AC=BC, AC=BC , uglovi na osnovici AB AB su jednaki. Uvedimo oznake za ugao na osnovici, ugao pri vrhu i dva jednaka ugla iz uslova.

∠CAB=∠ABC=α,∠ACB=γ=180∘−2α,∠ABM=∠CBN=x\angle CAB=\angle ABC=\alpha,\qquad \angle ACB=\gamma=180^\circ-2\alpha,\qquad \angle ABM=\angle CBN=x

Tačke leže redom A−M−N−C A-M-N-C na kraku AC. AC . Zbog tog redosleda, poluprave iz B B se unutar ugla ABC ABC pojavljuju redom BA,BM,BN,BC. BA,BM,BN,BC . Kada od celog ugla kod B B oduzmemo dva krajnja ugla od po x, x , dobijamo ugao između BM BM i BN. BN .

∠MBN=α−x−x=α−2x\angle MBN=\alpha-x-x=\alpha-2x

U trouglu BCN BCN ugao kod B B je x, x , a ugao kod C C je γ, \gamma , jer poluprava CN CN leži na polupravoj CA. CA . Zato zbir uglova tog trougla određuje ugao BNC. BNC .

∠BNC=180∘−γ−x\angle BNC=180^\circ-\gamma-x

Poluprave NM NM i NC NC su suprotne, pa su uglovi BNM BNM i BNC BNC suplementni. Tako dobijamo ugao kod N N trougla BMN. BMN .

∠BNM=180∘−∠BNC=γ+x\angle BNM=180^\circ-\angle BNC=\gamma+x

Iz MN=MB MN=MB sledi da je trougao BMN BMN jednakokraki. Naspram jednakih stranica nalaze se jednaki uglovi, pa izjednačavamo uglove kod B B i N, N , a zatim koristimo γ=180∘−2α. \gamma=180^\circ-2\alpha .

α−2x=γ+x=180∘−2α+x⟹3α−3x=180∘⟹α−x=60∘\alpha-2x=\gamma+x=180^\circ-2\alpha+x\quad\Longrightarrow\quad 3\alpha-3x=180^\circ\quad\Longrightarrow\quad \alpha-x=60^\circ

Traženi ugao sastoji se od uglova ABM ABM i MBN. MBN . Njihov zbir je upravo α−x, \alpha-x , čiju smo vrednost odredili.

∠ABN=∠ABM+∠MBN=x+(α−2x)=α−x=60∘\angle ABN=\angle ABM+\angle MBN=x+(\alpha-2x)=\alpha-x=\boxed{60^\circ}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak