4668. Trougao | Balkan Tutor

Neka je $AD$ težišna duž trougla $ABC ,$ pa je $D$ središte stranice $BC .$ Uvedimo oznake $AB=c ,$ $AC=b ,$ $BC=a$ i $AD=m_a .$ Treba dokazati obe stroge granice.

\frac{b+c-a}{2}<m_a<\frac{b+c}{2}

Produžimo duž $AD$ preko tačke $D$ do tačke $F$ tako da je $DF=AD .$ Tada tačka $D$ prepolovljava i $BC$ i $AF .$ Zato je četvorougao $ABFC$ paralelogram, pa su njegove naspramne stranice jednake.

AF=2AD=2m_a,\qquad BF=AC=b

Na trougao $ABF$ primenjujemo strogu nejednakost trougla. Stranica $AF$ manja je od zbira stranica $AB$ i $BF .$

AF<AB+BF\quad\Longrightarrow\quad 2m_a<c+b\quad\Longrightarrow\quad m_a<\frac{b+c}{2}

Za donju granicu posmatramo trouglove $ABD$ i $ACD .$ Pošto je $D$ središte stranice $BC ,$ važi $DB=DC=a/2 .$ Stroga nejednakost trougla u svakom od ta dva trougla daje:

c=AB<AD+DB=m_a+\frac a2,\qquad b=AC<AD+DC=m_a+\frac a2

Sabiranjem dobijenih strogih nejednakosti dobijamo traženu donju granicu za težišnu duž.

b+c<2m_a+a\quad\Longrightarrow\quad m_a>\frac{b+c-a}{2}=\frac{b+c}{2}-\frac a2

Dakle, težišna duž je strogo manja od poluzbira stranica između kojih se nalazi i strogo veća od razlike tog poluzbira i polovine treće stranice.

\boxed{\frac{b+c}{2}-\frac a2<m_a<\frac{b+c}{2}}

439