PrethodniSledeći
4669.

438

TEKST ZADATKA

Dokazati da svaki oštrougli trougao ima dva ugla čija je razlika manja od 30∘. 30^\circ .

REŠENJE ZADATKA

Označimo mere uglova trougla sa α, \alpha , β \beta i γ \gamma tako da su poređane od najmanje ka najvećoj. Pošto je trougao oštrougli, svaki od njih je strogo manji od 90∘. 90^\circ .

0∘<α≤β≤γ<90∘,α+β+γ=180∘0^\circ<\alpha\le\beta\le\gamma<90^\circ,\qquad \alpha+\beta+\gamma=180^\circ

Pretpostavimo suprotno: ne postoje dva ugla čija je razlika manja od 30∘. 30^\circ . Tada su, posebno, razlike susednih uglova u uređenom nizu najmanje 30∘. 30^\circ .

β−α≥30∘,γ−β≥30∘\beta-\alpha\ge30^\circ,\qquad \gamma-\beta\ge30^\circ

Iz druge nejednakosti i oštrine ugla γ \gamma sledi β<60∘. \beta<60^\circ . Zatim iz prve nejednakosti sledi α≤β−30∘<30∘. \alpha\le\beta-30^\circ<30^\circ .

γ≥β+30∘ ∧ γ<90∘ ⟹ β<60∘,α<30∘\gamma\ge\beta+30^\circ\ \land\ \gamma<90^\circ\ \Longrightarrow\ \beta<60^\circ,\qquad \alpha<30^\circ

Zato je zbir dva manja ugla strogo manji od 90∘. 90^\circ . Kako je zbir uglova trougla 180∘, 180^\circ , najveći ugao morao bi biti veći od 90∘, 90^\circ , što protivreči pretpostavci da je trougao oštrougli.

α+β<30∘+60∘=90∘⟹γ=180∘−(α+β)>90∘\alpha+\beta<30^\circ+60^\circ=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad \gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)>90^\circ

Pretpostavka je dovela do protivrečnosti. Prema tome, među tri ugla oštrouglog trougla moraju postojati dva čija je razlika strogo manja od 30∘. 30^\circ .

Postoje dva ugla cˇija je razlika manja od 30∘.\boxed{\text{Postoje dva ugla čija je razlika manja od }30^\circ.}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak