PrethodniSledeći
4671.

436

TEKST ZADATKA

Neka su P,Q,R, P, Q, R , redom, središta stranica BC,CA,AB BC, CA, AB trougla ABC ABC i neka je M M podnožje visine iz temena A. A . Dokazati da je MQ=PR. MQ = PR .

REŠENJE ZADATKA

Najpre izdvojimo slučaj ∠ACB=90∘. \angle ACB=90^\circ . Tada je stranica AC AC već normalna na BC, BC , pa se podnožje visine iz A A poklapa sa temenom C, C , odnosno M=C. M=C . Kako je Q Q središte duži AC, AC , odmah je MQ=CQ=AC/2. MQ=CQ=AC/2 . Sa druge strane, P P i R R su središta stranica BC BC i AB, AB , pa je PR PR srednja linija trougla i takođe ima dužinu AC/2. AC/2 .

∠C=90∘⟹M=C,MQ=CQ=AC2=PR\angle C=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad M=C,\qquad MQ=CQ=\frac{AC}{2}=PR

Sada pretpostavimo ∠ACB≠90∘, \angle ACB\ne90^\circ , odnosno M≠C, M\ne C , i dokažimo tvrđenje u opštem nedegenerisanom slučaju. Pošto je M M podnožje visine iz temena A, A , važi AM⊥BC. AM\perp BC . Tačke M M i C C leže na pravoj BC, BC , pa je trougao AMC AMC pravougli kod M, M , sa hipotenuzom AC. AC .

AM⊥MC,∠AMC=90∘AM\perp MC,\qquad \angle AMC=90^\circ

Tačka Q Q je središte stranice AC, AC , dakle središte hipotenuze pravouglog trougla AMC. AMC . Središte hipotenuze jednako je udaljeno od sva tri temena pravouglog trougla. Zato je MQ=AQ=CQ, MQ=AQ=CQ , a pošto je Q Q središte duži AC, AC , svaka od tih dužina jednaka je AC/2. AC/2 .

MQ=AQ=CQ=AC2MQ=AQ=CQ=\frac{AC}{2}

Tačke R R i P P su središta stranica AB AB i BC. BC . Zato je PR PR srednja linija trougla ABC: ABC : paralelna je stranici AC AC i njena dužina jednaka je polovini te stranice.

PR∥AC,PR=AC2PR\parallel AC,\qquad PR=\frac{AC}{2}

U opštem slučaju dobili smo da su MQ MQ i PR PR jednake istoj dužini AC/2. AC/2 . Zajedno sa slučajem ∠C=90∘, \angle C=90^\circ , to dokazuje tvrđenje za sve dopuštene trouglove.

MQ=AC2=PR⟹MQ=PRMQ=\frac{AC}{2}=PR\quad\Longrightarrow\quad \boxed{MQ=PR}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak