PrethodniSledeći
4672.

435

TEKST ZADATKA

U trouglu ABC ABC (BC>CA BC > CA ) razlika uglova ∠CAB \angle CAB i ∠ABC \angle ABC je 30∘. 30^\circ . Ako je D D tačka stranice BC BC takva da važi CD=CA, CD = CA , naći meru ∠BAD. \angle BAD .

REŠENJE ZADATKA

Označimo uglove trougla sa α,β,γ. \alpha,\beta,\gamma . Stranica BC BC leži naspram ugla α, \alpha , a stranica CA CA naspram ugla β. \beta . Pošto je BC>CA, BC>CA , naspram veće stranice nalazi se veći ugao. Time se određuje redosled uglova u datoj razlici.

α=∠CAB,β=∠ABC,γ=∠BCA,α>β,α−β=30∘\alpha=\angle CAB,\qquad \beta=\angle ABC,\qquad \gamma=\angle BCA,\qquad \alpha>\beta,\qquad \alpha-\beta=30^\circ

Uslov CD=CA CD=CA čini trougao ACD ACD jednakokrakim sa vrhom kod C. C . Pošto je D D na stranici BC, BC , poluprave CD CD i CB CB se poklapaju, pa je ugao pri vrhu tog jednakokrakog trougla jednak γ. \gamma . Njegova dva osnovna ugla su jednaka.

∠CAD=∠ADC=180∘−γ2\angle CAD=\angle ADC=\frac{180^\circ-\gamma}{2}

Iz zbira uglova trougla ABC ABC važi 180∘−γ=α+β. 180^\circ-\gamma=\alpha+\beta . Zato osnovni ugao CAD CAD možemo izraziti preko α \alpha i β. \beta . Kako je tačka D D na stranici BC, BC , duž AD AD je unutar ugla CAB, CAB , pa je traženi ugao razlika α−∠CAD. \alpha-\angle CAD .

∠BAD=α−α+β2=α−β2\angle BAD=\alpha-\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\alpha-\beta}{2}

Uvrštavanjem date razlike dobijamo traženu meru. Uslov BC>CA=CD BC>CA=CD ujedno obezbeđuje da je D D unutrašnja tačka stranice BC, BC , pa nema druge konfiguracije tačke D. D .

∠BAD=30∘2=15∘\angle BAD=\frac{30^\circ}{2}=\boxed{15^\circ}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak