PrethodniSledeći
4680.

427.b

TEKST ZADATKA

Dokazati: u pravouglom trouglu dužina medijane, koja odgovara hipotenuzi, jednaka je polovini dužine hipotenuze.

REŠENJE ZADATKA

Neka je ABC ABC neizrođen pravougli trougao sa pravim uglom kod A, A , a AM AM medijana hipotenuze BC. BC . Tada je M M sredina hipotenuze.

∠BAC=90∘,BM=CM=BC2\angle BAC=90^\circ, \qquad BM=CM=\frac{BC}{2}

Na polupravoj AM, AM , iza tačke M, M , konstruišimo tačku D D tako da je MD=MA. MD=MA . Prave AD AD i BC BC seku se u svojim sredinama M. M .

A,M,D su kolinearne,MA=MD,MB=MCA,M,D \text{ su kolinearne}, \qquad MA=MD, \qquad MB=MC

Trouglovi AMB AMB i DMC DMC imaju po dve jednake stranice, a uglovi između njih su unakrsni i zato jednaki. Podudarni su po dve stranice i zahvaćenom uglu.

AM=DM,BM=CM,∠AMB=∠DMC⟹AB=DCAM=DM, \quad BM=CM, \quad \angle AMB=\angle DMC \quad\Longrightarrow\quad AB=DC

Iz jednakosti odgovarajućih uglova iste podudarnosti sledi da su prave AB AB i DC DC paralelne. Analogno, podudarni trouglovi AMC AMC i DMB DMB daju AC=DB AC=DB i AC∥DB. AC\parallel DB .

AB∥DC,AC=DB,AC∥DBAB\parallel DC, \qquad AC=DB, \qquad AC\parallel DB

Uporedimo sada trouglove BAC BAC i ABD. ABD . Imaju zajedničku stranicu AB, AB , važi AC=BD, AC=BD , a zahvaćeni uglovi su pravi jer je BD∥AC. BD\parallel AC .

AB=AB,AC=BD,∠BAC=∠ABD=90∘AB=AB, \quad AC=BD, \quad \angle BAC=\angle ABD=90^\circ

Ova dva trougla su podudarna po dve stranice i zahvaćenom uglu, pa su njihove odgovarajuće stranice BC BC i AD AD jednake. Kako je M M sredina AD, AD , dobijamo traženu dužinu medijane.

AD=BC,AM=AD2=BC2⟹AM=BC2AD=BC, \qquad AM=\frac{AD}{2}=\frac{BC}{2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{AM=\frac{BC}{2}}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak