PrethodniSledeći
4681.

427.a

TEKST ZADATKA

Dokazati: ako je dužina medijane trougla jednaka polovini dužine odgovarajuće stranice, tada je trougao pravougli.

REŠENJE ZADATKA

Neka je AM AM medijana neizrođenog trougla ABC ABC koja odgovara stranici BC. BC . Tada je M M sredina BC. BC . Prema uslovu zadatka sve tri duži AM,BM,CM AM,BM,CM imaju istu dužinu.

BM=CM=BC2,AM=BC2⟹AM=BM=CMBM=CM=\frac{BC}{2}, \qquad AM=\frac{BC}{2} \quad\Longrightarrow\quad AM=BM=CM

Trougao ABM ABM je jednakokrak jer je AM=BM. AM=BM . Označimo njegove jednake uglove naspram tih stranica sa x. x .

∠BAM=∠ABM=x\angle BAM=\angle ABM=x

Trougao ACM ACM je takođe jednakokrak jer je AM=CM. AM=CM . Označimo njegove jednake uglove sa y. y .

∠MAC=∠ACM=y\angle MAC=\angle ACM=y

Pošto je M M na stranici BC, BC , uglovi prvobitnog trougla kod B B i C C iznose x x i y, y , dok je ugao kod A A zbir x+y. x+y . Zbir unutrašnjih uglova trougla ABC ABC daje sledeću jednakost.

(x+y)+x+y=180∘⟹x+y=90∘(x+y)+x+y=180^\circ \quad\Longrightarrow\quad x+y=90^\circ

Zato je ugao naspram strane kojoj odgovara data medijana pravi. Neizrođenost obezbeđuje da su x x i y y pozitivni i da su svi korišćeni trouglovi stvarni.

∠BAC=x+y=90∘\boxed{\angle BAC=x+y=90^\circ}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak