3484.

215.g

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve x x takve da važi: ∣6+2x∣=8 |6 + 2x| = 8 ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću:

∣6+2x∣={6+2x,za 6+2x≥0−(6+2x),za 6+2x<0|6 + 2x| = \begin{cases} 6 + 2x, & \text{za } 6 + 2x \ge 0 \\ -(6 + 2x), & \text{za } 6 + 2x < 0 \end{cases}

Rešavanjem uslova 6+2x≥0 6 + 2x \ge 0 i 6+2x<0, 6 + 2x < 0 , dobijamo intervale za x: x :

∣6+2x∣={6+2x,za x≥−3−6−2x,za x<−3|6 + 2x| = \begin{cases} 6 + 2x, & \text{za } x \ge -3 \\ -6 - 2x, & \text{za } x < -3 \end{cases}

Prvi slučaj: za x≥−3 x \ge -3 oslobađamo se apsolutne vrednosti sa znakom plus.

6+2x=86 + 2x = 8

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu:

2x=8−62x=2x=1\begin{aligned} 2x &= 8 - 6 \\ 2x &= 2 \\ x &= 1 \end{aligned}

Proveravamo da li rešenje pripada uslovu x≥−3. x \ge -3 . Pošto je 1≥−3, 1 \ge -3 , ovo rešenje je validno.

x1=1x_1 = 1

Drugi slučaj: za x<−3 x < -3 oslobađamo se apsolutne vrednosti sa znakom minus.

−(6+2x)=8-(6 + 2x) = 8

Rešavamo jednačinu za drugi slučaj:

−6−2x=8−2x=8+6−2x=14x=−7\begin{aligned} -6 - 2x &= 8 \\ -2x &= 8 + 6 \\ -2x &= 14 \\ x &= -7 \end{aligned}

Proveravamo da li rešenje pripada uslovu x<−3. x < -3 . Pošto je −7<−3, -7 < -3 , i ovo rešenje je validno.

x2=−7x_2 = -7

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.

x∈{−7,1}x \in \{-7, 1\}