3485.

215.k

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve x x takve da važi: ∣∣2x+1∣−5∣>2. ||2x + 1| - 5| > 2 .

REŠENJE ZADATKA

Pre početka rešavanja, definišemo izraze sa apsolutnim vrednostima. Prvo definišemo spoljašnju apsolutnu vrednost:

∣∣2x+1∣−5∣={∣2x+1∣−5,za ∣2x+1∣−5≥0−(∣2x+1∣−5),za ∣2x+1∣−5<0||2x+1|-5| = \begin{cases} |2x+1|-5, & \text{za } |2x+1|-5 \ge 0 \\ -(|2x+1|-5), & \text{za } |2x+1|-5 < 0 \end{cases}

Zatim definišemo i unutrašnju apsolutnu vrednost:

∣2x+1∣={2x+1,za 2x+1≥0−(2x+1),za 2x+1<0|2x+1| = \begin{cases} 2x+1, & \text{za } 2x+1 \ge 0 \\ -(2x+1), & \text{za } 2x+1 < 0 \end{cases}

Zadatak možemo rešiti korišćenjem osobine apsolutne vrednosti: nejednačina oblika ∣A∣>B |A| > B (gde je B>0 B > 0 ) ekvivalentna je uniji nejednačina A<−B A < -B ili A>B. A > B .

∣2x+1∣−5<−2∨∣2x+1∣−5>2|2x + 1| - 5 < -2 \quad \lor \quad |2x + 1| - 5 > 2

Rešavamo prvu nejednačinu. Dodajemo 5 5 obema stranama:

∣2x+1∣<3|2x + 1| < 3

Primenjujemo osobinu apsolutne vrednosti za nejednačine oblika ∣A∣<B, |A| < B , koja je ekvivalentna sa −B<A<B: -B < A < B :

−3<2x+1<3-3 < 2x + 1 < 3

Oduzimamo 1 1 od svih delova nejednakosti:

−4<2x<2-4 < 2x < 2

Delimo sa 2 2 kako bismo dobili rešenje za prvi slučaj:

−2<x<1-2 < x < 1

Sada rešavamo drugu nejednačinu iz trećeg koraka. Dodajemo 5 5 obema stranama:

∣2x+1∣>7|2x + 1| > 7

Ponovo primenjujemo osobinu za ∣A∣>B: |A| > B :

2x+1<−7∨2x+1>72x + 1 < -7 \quad \lor \quad 2x + 1 > 7

Rešavamo prvu podnejednačinu. Oduzimamo 1 1 i delimo sa 2: 2 :

2x<−8  ⟹  x<−42x < -8 \implies x < -4

Rešavamo drugu podnejednačinu. Oduzimamo 1 1 i delimo sa 2: 2 :

2x>6  ⟹  x>32x > 6 \implies x > 3

Rešenje druge nejednačine je unija dobijenih intervala:

x∈(−∞,−4)∪(3,+∞)x \in (-\infty, -4) \cup (3, +\infty)

Konačno rešenje je unija rešenja prvog i drugog slučaja:

x∈(−∞,−4)∪(−2,1)∪(3,+∞)x \in (-\infty, -4) \cup (-2, 1) \cup (3, +\infty)