3495.

215.d

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve x x takve da važi: ∣6+2x∣⩽8 |6 + 2x| \leqslant 8 ;

REŠENJE ZADATKA

Po definiciji apsolutne vrednosti, izraz ∣6+2x∣ |6 + 2x| definišemo na sledeći način:

∣6+2x∣={6+2x,za 6+2x≥0−(6+2x),za 6+2x<0|6 + 2x| = \begin{cases} 6 + 2x, & \text{za } 6 + 2x \ge 0 \\ -(6 + 2x), & \text{za } 6 + 2x < 0 \end{cases}

Rešavanjem uslova 6+2x≥0 6 + 2x \ge 0 dobijamo 2x≥−6, 2x \ge -6 , odnosno x≥−3. x \ge -3 . Sada možemo razdvojiti zadatak na dva slučaja.

Prvi slučaj: x≥−3. x \ge -3 . Tada je izraz pod apsolutnom vrednošću nenegativan, pa nejednačina glasi:

6+2x⩽86 + 2x \leqslant 8

Rešavamo nejednačinu za prvi slučaj:

2x⩽8−62x⩽2x⩽12x \leqslant 8 - 6 \\ 2x \leqslant 2 \\ x \leqslant 1

Rešenje prvog slučaja je presek uslova x≥−3 x \ge -3 i dobijenog rešenja x⩽1: x \leqslant 1 :

x∈[−3,1]x \in [-3, 1]

Drugi slučaj: x<−3. x < -3 . Tada je izraz pod apsolutnom vrednošću negativan, pa nejednačina glasi:

−(6+2x)⩽8-(6 + 2x) \leqslant 8

Rešavamo nejednačinu za drugi slučaj:

−6−2x⩽8−2x⩽8+6−2x⩽14x≥−7-6 - 2x \leqslant 8 \\ -2x \leqslant 8 + 6 \\ -2x \leqslant 14 \\ x \ge -7

Rešenje drugog slučaja je presek uslova x<−3 x < -3 i dobijenog rešenja x≥−7: x \ge -7 :

x∈[−7,−3)x \in [-7, -3)

Konačno rešenje je unija rešenja iz prvog i drugog slučaja:

x∈[−7,−3)∪[−3,1]x \in [-7, -3) \cup [-3, 1]

Spajanjem ovih intervala dobijamo konačan skup rešenja:

x∈[−7,1]x \in [-7, 1]