3501.

212.b

TEKST ZADATKA

Dokazati da su brojevi: 3−1 \sqrt{3} - 1 ; iracionalni.

REŠENJE ZADATKA

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na kontradikciju. Pretpostavimo suprotno, odnosno da je broj 3−1 \sqrt{3} - 1 racionalan. Neka je taj broj jednak nekom racionalnom broju r. r .

3−1=r,r∈Q\sqrt{3} - 1 = r, \quad r \in \mathbb{Q}

Izrazimo 3 \sqrt{3} iz ove jednakosti tako što ćemo prebaciti −1 -1 na desnu stranu.

3=r+1\sqrt{3} = r + 1

Znamo da je zbir dva racionalna broja uvek racionalan broj. Pošto je r r racionalan broj po pretpostavci, a 1 1 je takođe racionalan broj, njihov zbir mora biti racionalan.

r+1∈Qr + 1 \in \mathbb{Q}

Na osnovu prethodnog koraka, desna strana jednakosti je racionalan broj. To bi značilo da i leva strana jednakosti mora biti racionalan broj.

3∈Q\sqrt{3} \in \mathbb{Q}

Međutim, poznata je matematička činjenica da je 3 \sqrt{3} iracionalan broj. Ovim smo došli do kontradikcije jer iracionalan broj ne može biti jednak racionalnom broju.

3∉Q\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}

Pošto nas je pretpostavka da je broj racionalan dovela do kontradikcije, zaključujemo da je početna pretpostavka netačna. Dakle, dati broj je iracionalan.

3−1∉Q\sqrt{3} - 1 \notin \mathbb{Q}