3502.

215.đ

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve x x takve da važi:

∣6+2x∣⩾8|6 + 2x| \geqslant 8
REŠENJE ZADATKA

Na osnovu definicije apsolutne vrednosti, definišemo izraz ∣6+2x∣ |6 + 2x| u posebnom koraku:

∣6+2x∣={6+2x,za 6+2x⩾0−(6+2x),za 6+2x<0|6 + 2x| = \begin{cases} 6 + 2x, & \text{za } 6 + 2x \geqslant 0 \\ -(6 + 2x), & \text{za } 6 + 2x < 0 \end{cases}

Rešavanjem uslova 6+2x⩾0 6 + 2x \geqslant 0 i 6+2x<0 6 + 2x < 0 dobijamo intervale za x: x :

∣6+2x∣={6+2x,za x⩾−3−6−2x,za x<−3|6 + 2x| = \begin{cases} 6 + 2x, & \text{za } x \geqslant -3 \\ -6 - 2x, & \text{za } x < -3 \end{cases}

Prvi slučaj: za x⩾−3 x \geqslant -3 apsolutna vrednost je pozitivna, pa polazna nejednačina glasi:

6+2x⩾86 + 2x \geqslant 8

Rešavamo dobijenu nejednačinu:

2x⩾2  ⟹  x⩾12x \geqslant 2 \implies x \geqslant 1

Presek ovog rešenja sa uslovom prvog slučaja x⩾−3 x \geqslant -3 je:

x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty)

Drugi slučaj: za x<−3 x < -3 izraz pod apsolutnom vrednošću je negativan, pa nejednačina glasi:

−(6+2x)⩾8-(6 + 2x) \geqslant 8

Rešavamo nejednačinu za drugi slučaj (deljenjem sa negativnim brojem znak nejednakosti se menja):

−6−2x⩾8  ⟹  −2x⩾14  ⟹  x⩽−7-6 - 2x \geqslant 8 \implies -2x \geqslant 14 \implies x \leqslant -7

Presek ovog rešenja sa uslovom drugog slučaja x<−3 x < -3 je:

x∈(−∞,−7]x \in (-\infty, -7]

Konačno rešenje dobijamo kao uniju rešenja iz oba slučaja:

x∈(−∞,−7]∪[1,+∞)x \in (-\infty, -7] \cup [1, +\infty)