3504.

211.a

TEKST ZADATKA

Dokazati da su brojevi: 2 \sqrt{2} ; iracionalni.

REŠENJE ZADATKA

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na protivrečnost (kontradikciju). Pretpostavimo suprotno, odnosno da je broj 2 \sqrt{2} racionalan. Tada se on može zapisati u obliku nesvodljivog razlomka:

2=pq\sqrt{2} = \frac{p}{q}

gde su p p i q q uzajamno prosti celi brojevi (nemaju zajedničkih delilaca osim 1) i q≠0. q \neq 0 . Kvadriramo obe strane jednakosti:

(2)2=(pq)2(\sqrt{2})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2

Sređivanjem dobijamo:

2=p2q22 = \frac{p^2}{q^2}

Množenjem jednačine sa q2 q^2 dobijamo:

p2=2q2p^2 = 2q^2

Kako je desna strana deljiva sa 2, zaključujemo da je p2 p^2 paran broj. Kvadrat celog broja je paran ako i samo ako je i sam taj broj paran. Dakle, p p je paran broj i možemo ga zapisati kao:

p=2k,k∈Zp = 2k, \quad k \in \mathbb{Z}

Zamenimo p=2k p = 2k u jednačinu p2=2q2: p^2 = 2q^2 :

(2k)2=2q2(2k)^2 = 2q^2

Kvadriramo izraz na levoj strani:

4k2=2q24k^2 = 2q^2

Deljenjem jednačine sa 2 dobijamo:

2k2=q22k^2 = q^2

Slično kao malopre, pošto je leva strana deljiva sa 2, sledi da je q2 q^2 paran broj, što znači da je i q q paran broj.

q=2m,m∈Zq = 2m, \quad m \in \mathbb{Z}

Dobili smo da su i p p i q q parni brojevi, odnosno oba su deljiva sa 2. Ovo je u direktnoj protivrečnosti sa našom početnom pretpostavkom da su p p i q q uzajamno prosti brojevi (da je razlomak nesvodljiv).

Zbog dobijene kontradikcije, zaključujemo da je naša početna pretpostavka netačna. Dakle, broj 2 \sqrt{2} je iracionalan.