3503.

214.g

TEKST ZADATKA

Naći sve realne brojeve x x takve da je:

∣x−2∣<1|x - 2| < 1
REŠENJE ZADATKA

Po definiciji apsolutne vrednosti imamo:

∣x−2∣={x−2,za x−2≥0−(x−2),za x−2<0|x - 2| = \begin{cases} x - 2, & \text{za } x - 2 \ge 0 \\ -(x - 2), & \text{za } x - 2 < 0 \end{cases}

Sređivanjem uslova dobijamo:

∣x−2∣={x−2,za x≥2−x+2,za x<2|x - 2| = \begin{cases} x - 2, & \text{za } x \ge 2 \\ -x + 2, & \text{za } x < 2 \end{cases}

Prvi slučaj: x≥2. x \ge 2 . Tada nejednačina postaje:

x−2<1x - 2 < 1

Rešavamo nejednačinu za prvi slučaj:

x<3x < 3

Uzimajući u obzir uslov x≥2, x \ge 2 , rešenje prvog slučaja je:

x∈[2,3)x \in [2, 3)

Drugi slučaj: x<2. x < 2 . Tada nejednačina postaje:

−(x−2)<1-(x - 2) < 1

Rešavamo nejednačinu za drugi slučaj:

−x+2<1  ⟹  −x<−1  ⟹  x>1-x + 2 < 1 \implies -x < -1 \implies x > 1

Uzimajući u obzir uslov x<2, x < 2 , rešenje drugog slučaja je:

x∈(1,2)x \in (1, 2)

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja:

x∈(1,2)∪[2,3)  ⟹  x∈(1,3)x \in (1, 2) \cup [2, 3) \implies x \in (1, 3)