Pozicioni zapis celog broja

Brojeve svakodnevno zapisujemo u dekadnom sistemu, odnosno sistemu sa osnovom $10$. Navikli smo da koristimo cifre od $0$ do $9$, ali to nije jedini način na koji brojevi mogu biti predstavljeni.

Računari, na primer, koriste binarni sistem sa osnovom $2$, jer elektronski uređaji prirodno razlikuju samo dva stanja: uključeno i isključeno. Pored binarnog sistema često se koriste i oktalni sistem (osnova $8$) i heksadecimalni sistem (osnova $16$).

Iako izgledaju različito, svi brojevni sistemi zasnivaju se na istom principu: vrednost cifre zavisi od njenog mesta u zapisu. U dekadnom broju $235$ cifra $2$ predstavlja dve stotine, cifra $3$ tri desetice, a cifra $5$ pet jedinica:

$235 = 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$

U ovoj lekciji naučićeš kako funkcionišu različiti brojevni sistemi, kako da pretvaraš brojeve iz jedne osnove u drugu i kako se binarni, oktalni i heksadecimalni sistemi povezuju sa dekadnim zapisom koji svakodnevno koristimo.

Sadržaj

• Kako radi brojevni sistem
• 1. Iz osnove b u dekadni sistem
• 2. Iz dekadnog u osnovu b
• 3. Iz jedne osnove u drugu
• 4. Prečica: binarni, oktalni i heksadecimalni

Kako radi brojevni sistem

Sistem sa osnovom $b$ koristi cifre od $0$ do $b - 1$. Vrednost broja je zbir proizvoda svake cifre sa stepenom osnove koji odgovara njenom mestu, pri čemu se mesta broje od $0$ sa desne strane:

$\text{vrednost} = \dots + c_2 \cdot b^2 + c_1 \cdot b^1 + c_0 \cdot b^0$

Osnovu zapisujemo kao indeks: $1011_2$, $173_8$, $235_{10}$, $ABC_{16}$.

Za pretvaranje su dovoljna samo dva pravila: kako iz bilo koje osnove preći u dekadni, i kako iz dekadnog preći u bilo koju osnovu. Sve ostalo su kombinacije ta dva pravila.

1. Iz osnove b u dekadni sistem

Svaki brojevni sistem koristi određenu osnovu koja određuje vrednost mesta u zapisu. Kada broj iz neke osnove želimo da prevedemo u dekadni sistem, potrebno je da pronađemo vrednost svake njegove cifre.

Cifre ne posmatramo samo kao pojedinačne brojeve. Njihova vrednost zavisi od mesta na kom se nalaze: mesto krajnje desne cifre ima težinu $b^0$, sledeće mesto $b^1$, zatim $b^2$ i tako dalje.

Zato broj u osnovi $b$ možemo zapisati u razvijenom obliku:

$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}_b = a_n \cdot b^n + a_{n-1} \cdot b^{n-1} + \dots + a_1 \cdot b^1 + a_0 \cdot b^0$

Drugim rečima, svaku cifru množimo stepenom osnove koji odgovara njenom mestu, a zatim sve saberemo.

Ako osnova ima slovne cifre, prvo ih zamenimo vrednostima. Na primer:

$3E_{16} = 3 \cdot 16 + 14 = 62$

2. Iz dekadnog u osnovu b

Kada želimo da broj iz dekadnog sistema prevedemo u neki drugi brojevni sistem, koristimo uzastopno deljenje osnovom novog sistema.

Zašto baš deljenje? Svaki broj možemo zapisati pomoću stepena njegove osnove. Na primer, u dekadnom sistemu:

$2748 = 2 \cdot 10^3 + 7 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 8 \cdot 10^0$

Kada broj podelimo novom osnovom, ostatak pri deljenju govori koja cifra stoji na mestu jedinica u tom novom sistemu. Zatim isti postupak nastavljamo sa količnikom da bismo pronašli sledeće cifre.

Postupak ponavljamo sve dok količnik ne postane $0$. Dobijene ostatke čitamo obrnutim redosledom, jer prvi dobijeni ostatak predstavlja cifru najmanje težine (onu krajnje desno).

Ovo pravilo važi za sve brojevne sisteme i postupak je isti. Menja se samo broj sa kojim delimo. Delimo sa $2$ za binarni sistem, sa $8$ za oktalni i sa $16$ za heksadecimalni sistem.

3. Iz jedne osnove u drugu

Kada nijedna osnova nije $10$, ne treba nam novo pravilo. Prvo iz polazne osnove pređemo u dekadni sistem (pravilo 1), pa iz dekadnog u ciljnu osnovu (pravilo 2). Dekadni sistem je most.

4. Prečica: binarni, oktalni i heksadecimalni

Kada je jedna osnova stepen druge, pretvaranje ide bez računanja preko dekadnog. Pošto je $8 = 2^3$, jedna oktalna cifra odgovara tačno trima binarnim ciframa; pošto je $16 = 2^4$, jedna heksadecimalna cifra odgovara tačno četirima binarnim. Zato binarni broj samo grupišemo.

Grupa (bin)	$000$	$001$	$010$	$011$	$100$	$101$	$110$	$111$
Cifra (okt)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$

Za heksadecimalni sistem grupišemo u četvorke. Ako krajnja leva grupa nema dovoljno cifara, dopunimo je nulama sleva:

$1010110110_2 \rightarrow 0010 \; 1011 \; 0110 = 2B6_{16}$

U suprotnom smeru svaku oktalnu cifru zamenimo sa tri bita, a svaku heksadecimalnu sa četiri bita.