3082.

29.b

TEKST ZADATKA

Ispitati koje od sledećih formula su tačne u skupu realnih brojeva: (∀x)(∀y)(∃z)(xz+y≠0) (\forall x)(\forall y)(\exists z)(xz + y \neq 0)

REŠENJE ZADATKA

Da bi data formula bila tačna, za svaki izbor realnih brojeva x x i y, y , mora postojati bar jedan realan broj z z takav da je izraz xz+y xz + y različit od nule.

Pokušaćemo da nađemo kontraprimer, odnosno vrednosti za x x i y y za koje ne postoji nijedno z z koje ispunjava dati uslov.

Posmatrajmo slučaj kada je x=0. x = 0 . Tada izraz xz+y xz + y postaje:

0⋅z+y=y0 \cdot z + y = y

Sada uslov xz+y≠0 xz + y \neq 0 postaje y≠0. y \neq 0 .

Pošto formula zahteva da uslov važi za svako y, y , proveravamo šta se dešava ako izaberemo i y=0. y = 0 .

Za x=0 x = 0 i y=0, y = 0 , izraz xz+y xz + y je jednak nuli za svako moguće z z iz skupa realnih brojeva:

0⋅z+0=00 \cdot z + 0 = 0

Dakle, za x=0 x = 0 i y=0 y = 0 ne postoji nijedno z z takvo da je xz+y≠0. xz + y \neq 0 .

Na osnovu pronađenog kontraprimera, zaključujemo da je data formula netačna u skupu realnih brojeva.