4380.

689.v

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu po nepoznatoj x: x :

(a+x−b)(a−b−x)=(a2−x)(b2+x)−a2b2(a + x - b)(a - b - x) = (a^2 - x)(b^2 + x) - a^2b^2
REŠENJE ZADATKA

Sredićemo levu stranu jednačine. Grupišemo članove tako da iskoristimo formulu za razliku kvadrata.

((a−b)+x)((a−b)−x)=(a−b)2−x2((a - b) + x)((a - b) - x) = (a - b)^2 - x^2

Razvijamo kvadrat binoma na levoj strani.

a2−2ab+b2−x2a^2 - 2ab + b^2 - x^2

Sada sređujemo desnu stranu jednačine množenjem zagrada.

(a2−x)(b2+x)−a2b2=a2b2+a2x−b2x−x2−a2b2(a^2 - x)(b^2 + x) - a^2b^2 = a^2b^2 + a^2x - b^2x - x^2 - a^2b^2

Skraćujemo suprotne članove a2b2 a^2b^2 i −a2b2 -a^2b^2 na desnoj strani.

a2x−b2x−x2a^2x - b^2x - x^2

Izjednačavamo dobijene izraze za levu i desnu stranu.

a2−2ab+b2−x2=a2x−b2x−x2a^2 - 2ab + b^2 - x^2 = a^2x - b^2x - x^2

Skraćujemo −x2 -x^2 sa obe strane jednačine.

a2−2ab+b2=a2x−b2xa^2 - 2ab + b^2 = a^2x - b^2x

Prepoznajemo kvadrat binoma na levoj strani i izvlačimo zajednički činilac x x na desnoj strani.

(a−b)2=(a2−b2)x(a - b)^2 = (a^2 - b^2)x

Rastavljamo razliku kvadrata uz nepoznatu x x kako bismo pripremili jednačinu za diskusiju rešenja.

(a−b)2=(a−b)(a+b)x(a - b)^2 = (a - b)(a + b)x

Dobili smo linearnu jednačinu sa parametrima. Prvi slučaj: ako je a≠b a \neq b i a≠−b a \neq -b (odnosno a2−b2≠0 a^2 - b^2 \neq 0 ), jednačinu možemo podeliti sa (a−b)(a+b). (a-b)(a+b) .

x=(a−b)2(a−b)(a+b)=a−ba+bx = \frac{(a - b)^2}{(a - b)(a + b)} = \frac{a - b}{a + b}

Drugi slučaj: ako je a=b, a = b , zamenjujemo tu vrednost u jednačinu. Dobijamo 0=0⋅x, 0 = 0 \cdot x , što znači da je jednačina neodređena i rešenje je svaki realan broj.

x∈Rx \in \mathbb{R}

Treći slučaj: ako je a=−b a = -b (pri čemu je b≠0 b \neq 0 ), zamenom u jednačinu dobijamo 4b2=0⋅x. 4b^2 = 0 \cdot x . Pošto je 4b2>0, 4b^2 > 0 , jednačina je nemoguća i nema rešenja.

x∈∅x \in \emptyset