4389.

688.a

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (a,b,c∈R a, b, c \in \mathbf{R} ) (zadaci 688-692):

(a2−4a+3)x=a2−a−6(a^2 - 4a + 3)x = a^2 - a - 6
REŠENJE ZADATKA

Faktorišemo kvadratne trinome sa obe strane jednačine. Za levu stranu tražimo korene izraza a2−4a+3. a^2 - 4a + 3 .

a1,2=4±(−4)2−4⋅1⋅32=4±16−122=4±22  ⟹  a1=3,a2=1a_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \implies a_1 = 3, a_2 = 1

Zapisujemo levu stranu u faktorisanom obliku.

a2−4a+3=(a−1)(a−3)a^2 - 4a + 3 = (a-1)(a-3)

Sada faktorišemo desnu stranu jednačine, odnosno izraz a2−a−6. a^2 - a - 6 .

a1,2=1±(−1)2−4⋅1⋅(−6)2=1±1+242=1±52  ⟹  a1=3,a2=−2a_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \implies a_1 = 3, a_2 = -2

Zapisujemo desnu stranu u faktorisanom obliku.

a2−a−6=(a−3)(a+2)a^2 - a - 6 = (a-3)(a+2)

Zamenjujemo faktorisane izraze u početnu jednačinu.

(a−1)(a−3)x=(a−3)(a+2)(a-1)(a-3)x = (a-3)(a+2)

Sada analiziramo rešenja u zavisnosti od vrednosti parametra a. a . Prvi slučaj je kada je koeficijent uz x x različit od nule, odnosno (a−1)(a−3)≠0. (a-1)(a-3) \neq 0 .

a≠1ia≠3a \neq 1 \quad \text{i} \quad a \neq 3

U ovom slučaju možemo podeliti obe strane jednačine sa (a−1)(a−3). (a-1)(a-3) .

x=(a−3)(a+2)(a−1)(a−3)=a+2a−1x = \frac{(a-3)(a+2)}{(a-1)(a-3)} = \frac{a+2}{a-1}

Drugi slučaj je kada je a=1. a = 1 . Zamenjujemo ovu vrednost u jednačinu.

(1−1)(1−3)x=(1−3)(1+2)  ⟹  0⋅(−2)⋅x=(−2)⋅3  ⟹  0⋅x=−6(1-1)(1-3)x = (1-3)(1+2) \implies 0 \cdot (-2) \cdot x = (-2) \cdot 3 \implies 0 \cdot x = -6

Kako množenje nulom uvek daje nulu, dobijamo nemoguću jednakost. Dakle, za a=1 a = 1 jednačina nema rešenja.

x∈∅x \in \emptyset

Treći slučaj je kada je a=3. a = 3 . Zamenjujemo ovu vrednost u jednačinu.

(3−1)(3−3)x=(3−3)(3+2)  ⟹  2⋅0⋅x=0⋅5  ⟹  0⋅x=0(3-1)(3-3)x = (3-3)(3+2) \implies 2 \cdot 0 \cdot x = 0 \cdot 5 \implies 0 \cdot x = 0

Ova jednakost je tačna za svaki realan broj x. x . Dakle, za a=3 a = 3 jednačina ima beskonačno mnogo rešenja.

x∈Rx \in \mathbf{R}

Zapisujemo konačan zaključak za sva tri slučaja.

x={a+2a−1,a≠1∧a≠3∅,a=1R,a=3x = \begin{cases} \frac{a+2}{a-1}, & a \neq 1 \land a \neq 3 \\ \emptyset, & a = 1 \\ \mathbf{R}, & a = 3 \end{cases}