4390.

687.v

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine: 7z2−1+8z2−2z+1=37−9zz3−z2−z+1 \frac{7}{z^2 - 1} + \frac{8}{z^2 - 2z + 1} = \frac{37 - 9z}{z^3 - z^2 - z + 1}

REŠENJE ZADATKA

Faktorišemo imenioce razlomaka kako bismo odredili uslove definisanosti i najmanji zajednički sadržalac (NZS).

z2−1=(z−1)(z+1)z2−2z+1=(z−1)2z3−z2−z+1=z2(z−1)−(z−1)=(z2−1)(z−1)=(z−1)2(z+1)\begin{aligned} z^2 - 1 &= (z - 1)(z + 1) \\ z^2 - 2z + 1 &= (z - 1)^2 \\ z^3 - z^2 - z + 1 &= z^2(z - 1) - (z - 1) = (z^2 - 1)(z - 1) = (z - 1)^2(z + 1) \end{aligned}

Zapisujemo jednačinu u faktorisanom obliku.

7(z−1)(z+1)+8(z−1)2=37−9z(z−1)2(z+1)\frac{7}{(z - 1)(z + 1)} + \frac{8}{(z - 1)^2} = \frac{37 - 9z}{(z - 1)^2(z + 1)}

Određujemo uslove pod kojima je jednačina definisana. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

z≠1iz≠−1z \neq 1 \quad \text{i} \quad z \neq -1

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem, odnosno izrazom (z−1)2(z+1). (z - 1)^2(z + 1) .

7(z−1)+8(z+1)=37−9z7(z - 1) + 8(z + 1) = 37 - 9z

Oslobađamo se zagrada i sređujemo jednačinu.

7z−7+8z+8=37−9z7z - 7 + 8z + 8 = 37 - 9z

Grupišemo nepoznate na jednu, a poznate na drugu stranu.

15z+1=37−9z15z + 1 = 37 - 9z

Prebacujemo −9z -9z na levu stranu, a 1 1 na desnu stranu.

15z+9z=37−115z + 9z = 37 - 1

Sabiramo slične članove.

24z=3624z = 36

Delimo jednačinu sa 24 kako bismo dobili vrednost nepoznate z. z .

z=3624z = \frac{36}{24}

Skraćujemo razlomak sa 12.

z=32z = \frac{3}{2}

Proveravamo da li dobijeno rešenje zadovoljava uslove definisanosti. Pošto je z=32≠±1, z = \frac{3}{2} \neq \pm 1 , rešenje je prihvatljivo.

z=32z = \frac{3}{2}