4102.

623.l

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

(xy+1)2−(x+y)2(x2−1)(y2−1)\frac{(xy + 1)^2 - (x + y)^2}{(x^2 - 1)(y^2 - 1)}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je izraz u brojiocu razlika kvadrata oblika A2−B2=(A−B)(A+B). A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) . Primenjujemo ovu formulu.

(xy+1)2−(x+y)2=(xy+1−(x+y))(xy+1+x+y)(xy + 1)^2 - (x + y)^2 = (xy + 1 - (x + y))(xy + 1 + x + y)

Oslobađamo se unutrašnjih zagrada i sređujemo izraze.

(xy−x−y+1)(xy+x+y+1)(xy - x - y + 1)(xy + x + y + 1)

Faktorišemo prvu zagradu metodom grupisanja članova.

xy−x−y+1=x(y−1)−(y−1)=(x−1)(y−1)xy - x - y + 1 = x(y - 1) - (y - 1) = (x - 1)(y - 1)

Faktorišemo drugu zagradu metodom grupisanja članova.

xy+x+y+1=x(y+1)+(y+1)=(x+1)(y+1)xy + x + y + 1 = x(y + 1) + (y + 1) = (x + 1)(y + 1)

Zamenjujemo dobijene faktore nazad u brojilac.

(x−1)(y−1)(x+1)(y+1)(x - 1)(y - 1)(x + 1)(y + 1)

Sada posmatramo imenilac. Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na x2−1 x^2 - 1 i y2−1. y^2 - 1 .

(x2−1)(y2−1)=(x−1)(x+1)(y−1)(y+1)(x^2 - 1)(y^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)(y - 1)(y + 1)

Zapisujemo početni razlomak sa faktorisanim brojiocem i imeniocem.

(x−1)(y−1)(x+1)(y+1)(x−1)(x+1)(y−1)(y+1)\frac{(x - 1)(y - 1)(x + 1)(y + 1)}{(x - 1)(x + 1)(y - 1)(y + 1)}

Skraćujemo iste članove u brojiocu i imeniocu, uz uslov da imenilac nije nula, odnosno x≠±1 x \neq \pm 1 i y≠±1. y \neq \pm 1 .

11