3535.

233

TEKST ZADATKA

Neka je u=x+3yy(x−y), u = \frac{x + 3y}{y(x - y)} , pri čemu je x=3,23±0,03 x = 3,23 \pm 0,03 i y=1,775±0,005. y = 1,775 \pm 0,005 . Odrediti približnu vrednost za u u i granicu apsolutne greške.

REŠENJE ZADATKA

Iz postavke zadatka imamo približne vrednosti x′ x' i y′ y' i njihove granice apsolutne greške Δx′ \Delta x' i Δy′: \Delta y' :

x′=3,23,Δx′=0,03y′=1,775,Δy′=0,005\begin{aligned} x' &= 3,23, \quad \Delta x' = 0,03 \\ y' &= 1,775, \quad \Delta y' = 0,005 \end{aligned}

Radi lakšeg računanja, podelićemo izraz na brojilac i imenilac. Neka je približna vrednost brojioca A′=x′+3y′ A' = x' + 3y' i imenioca B′=y′(x′−y′). B' = y'(x' - y') .

Računamo približnu vrednost brojioca A′: A' :

A′=3,23+3⋅1,775=3,23+5,325=8,555A' = 3,23 + 3 \cdot 1,775 = 3,23 + 5,325 = 8,555

Granica apsolutne greške zbira jednaka je zbiru granica apsolutnih grešaka sabiraka. Računamo granicu apsolutne greške za A′: A' :

ΔA′=Δx′+3Δy′=0,03+3⋅0,005=0,03+0,015=0,045\Delta A' = \Delta x' + 3\Delta y' = 0,03 + 3 \cdot 0,005 = 0,03 + 0,015 = 0,045

Sada računamo približnu vrednost izraza u zagradi imenioca, x′−y′: x' - y' :

x′−y′=3,23−1,775=1,455x' - y' = 3,23 - 1,775 = 1,455

Granica apsolutne greške razlike jednaka je zbiru granica apsolutnih grešaka. Računamo granicu apsolutne greške za x′−y′: x' - y' :

Δ(x′−y′)=Δx′+Δy′=0,03+0,005=0,035\Delta(x' - y') = \Delta x' + \Delta y' = 0,03 + 0,005 = 0,035

Računamo približnu vrednost imenioca B′: B' :

B′=y′⋅(x′−y′)=1,775⋅1,455=2,582625B' = y' \cdot (x' - y') = 1,775 \cdot 1,455 = 2,582625

Definišemo apsolutnu vrednost za y′: y' :

∣y′∣={y′,za y′≥0−y′,za y′<0|y'| = \begin{cases} y', & \text{za } y' \ge 0 \\ -y', & \text{za } y' < 0 \end{cases}

Pošto je y′=1,775≥0, y' = 1,775 \ge 0 , važi ∣y′∣=1,775. |y'| = 1,775 .

Definišemo apsolutnu vrednost za x′−y′: x' - y' :

∣x′−y′∣={x′−y′,za x′−y′≥0−(x′−y′),za x′−y′<0|x' - y'| = \begin{cases} x' - y', & \text{za } x' - y' \ge 0 \\ -(x' - y'), & \text{za } x' - y' < 0 \end{cases}

Pošto je x′−y′=1,455≥0, x' - y' = 1,455 \ge 0 , važi ∣x′−y′∣=1,455. |x' - y'| = 1,455 .

Granica apsolutne greške proizvoda dva broja a a i b b računa se po formuli Δ(a⋅b)=∣a∣Δb+∣b∣Δa. \Delta(a \cdot b) = |a|\Delta b + |b|\Delta a . Primenjujemo ovo na imenilac B′: B' :

ΔB′=∣y′∣Δ(x′−y′)+∣x′−y′∣Δy′=1,775⋅0,035+1,455⋅0,005\Delta B' = |y'|\Delta(x' - y') + |x' - y'|\Delta y' = 1,775 \cdot 0,035 + 1,455 \cdot 0,005

Računamo vrednost za ΔB′: \Delta B' :

ΔB′=0,062125+0,007275=0,0694\Delta B' = 0,062125 + 0,007275 = 0,0694

Računamo približnu vrednost celog izraza u′=A′B′: u' = \frac{A'}{B'} :

u′=8,5552,582625≈3,31252u' = \frac{8,555}{2,582625} \approx 3,31252

Definišemo apsolutnu vrednost za A′: A' :

∣A′∣={A′,za A′≥0−A′,za A′<0|A'| = \begin{cases} A', & \text{za } A' \ge 0 \\ -A', & \text{za } A' < 0 \end{cases}

Pošto je A′=8,555≥0, A' = 8,555 \ge 0 , važi ∣A′∣=8,555. |A'| = 8,555 .

Definišemo apsolutnu vrednost za B′: B' :

∣B′∣={B′,za B′≥0−B′,za B′<0|B'| = \begin{cases} B', & \text{za } B' \ge 0 \\ -B', & \text{za } B' < 0 \end{cases}

Pošto je B′=2,582625≥0, B' = 2,582625 \ge 0 , važi ∣B′∣=2,582625. |B'| = 2,582625 .

Granica apsolutne greške količnika dva broja a a i b b računa se po formuli Δ(ab)=∣a∣Δb+∣b∣Δab2. \Delta\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{|a|\Delta b + |b|\Delta a}{b^2} . Računamo granicu apsolutne greške za u′: u' :

Δu′=∣A′∣ΔB′+∣B′∣ΔA′(B′)2=8,555⋅0,0694+2,582625⋅0,0452,5826252\Delta u' = \frac{|A'|\Delta B' + |B'|\Delta A'}{(B')^2} = \frac{8,555 \cdot 0,0694 + 2,582625 \cdot 0,045}{2,582625^2}

Sređujemo izraz za granicu apsolutne greške:

Δu′=0,593717+0,1162181256,669951890625=0,7099351256,669951890625≈0,10643\Delta u' = \frac{0,593717 + 0,116218125}{6,669951890625} = \frac{0,709935125}{6,669951890625} \approx 0,10643

Zaokrugljujemo granicu apsolutne greške na dve decimale. Pošto je treća decimala 6 (veća od 5), drugu decimalu uvećavamo za 1:

Δu′≈0,11\Delta u' \approx 0,11

Približnu vrednost za u′ u' takođe zaokrugljujemo na isti broj decimala (dve decimale). Pošto je treća decimala 2 (manja od 5), prve dve decimale ostaju nepromenjene:

u′≈3,31u' \approx 3,31

Konačan rezultat možemo zapisati u obliku u′±Δu′: u' \pm \Delta u' :

u=3,31±0,11u = 3,31 \pm 0,11